1、插值与拟合

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但是只要保证误差足够小即可。
拟合算法：与插值算法不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点，拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。

即插值算法得到的曲线过样本的所有已知点，拟合算法得到的曲线不需要过所有的数据点。

插值问题和拟合问题如何选择？ 样本量多优先选拟合
当样本已知数据点小于30时，用插值算法，大于30个点时（大样本）使用拟合算法（曲线及置信区间）。

2、举例：找出x和y之间的拟合曲线

步骤一：根据表格数据做散点图
代码如下：

clear;clc
load  data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')

步骤二：由散点图分布可知，可用直线拟合数据点
设拟合曲线y=kx+b，但是当k和b取何值时，样本点和拟合曲线最为接近。

但是我们如何去定义这个接近呢？
即所求数据点到直线的距离之和应该最小，距离有两种方式表示，绝对值和平方和表示。
两种定义方法如下：
数学中 arg min的意思：argmin 就是使后面这个式子达到最小值时的k，b的取值。

第一种带绝对值求解不方便，不容易求导，因此计算比较复杂。所以我们往往使用第二种定义，这也正是最小二乘的思想，也就是真实值和拟合值的所有的差值之和最小。
最小二乘法证明过程：

我们即可解出k，b的值，并在图中画出拟合直线，完整代码如下：

clear;clc
load  data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线% % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% x = 0: 0.1 :5  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% y = k * x + b  % k和b都是已知值
% plot(x,y,'-')f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[min(x)-1,max(x)+1]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

matlab匿名函数用法：

% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
% % >> z=@(x,y) x^2+y^2;
% % >> z(1,2)
% % ans =  5
% fplot函数可用于画出匿名函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将在指定区间绘图。将区间指定为 [xmin xmax] 形式的二元素向量。

步骤三：评价拟合好坏

证明SST=SSE+SSR（可以忽略）

mean是求均值的函数

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
% mean()用于求均值
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR
R_2 = SSR / SST

R的平方越接近1，说明误差平方和越接近0，误差越小，说明拟合越好。
注意：R的平方只能用于拟合函数是线性函数时，拟合结果的评价。线性函数和其他函数（指数函数）比较拟合的好坏，直接看SSE即可。R的平方可能是负数。

3、通过cftool matlab自带的拟合工具箱来进行数据拟合

在窗口中输入cftool，打开拟合工具箱。
评价拟合模型的好坏：
主要
1.看指数平方和：SSE的值越小越好。
2.拟合的简洁性原则。就是尽量保证拟合的函数简洁更好。

具体过程如图：

界面说明

例题2：已知30个数据点，横坐标x由（0,10）之间的随机数，纵坐标服从，
代码

clear;clc
x = rand(30,1) * 10;
y = 3 * exp(0.5*x) -5 + normrnd(0,1,30,1);
cftool

图上所示：设置x data（横坐标数据源）为x ，Y data（纵坐标数据源）为Y，设置拟合函数为指数形式，且为1次函数。此时误差平方和SSE：243.7 对应的函数形式为f(x)=2.434exp(0.521X)
通过调节函数形式得到不同的函数
当设置函数为指数，一元二次函数形式

SSE为：27.28，相比一元一次函数，一元二次函数的误差更小，且原函数也为指数函数。则选择此函数形式

f(x)=3.232exp(0.4933x)-4.851*exp(0.0628x)

总结：
函数选择原则：
当散点图走势是直线，优先选线性拟合，评价指标为SSE和R平方，SSE越小越好，R平方越大越好。
其他的函数选择条件是SSE越小越好，且不是线性拟合时不能用R平方来评价。
其他：函数形式应当越简单越好。

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