离散数学12_第5章关系与函数之等价关系与序关系、哈斯图

2024-05-12 18:43:52

一等价关系

定义：设R为非空集合A上的关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。

设R为等价关系，若<x, y> ∈R，称x等价于y, 记作 x ~ y。

等价关系是一类重要的二元关系。

在数学中，存在很多等价关系，在平面三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系。

在生活中，一群人年龄相等关系是等价关系，姓氏相同关系也是等价关系。但朋友关系不是等价关系，因为朋友关系不具备传递性。

二序关系

定义：设A是一个非空集合，如果 A上的关系R满足自反性、反对称性及传递性，则称R是A上的一个偏序关系，记作 " ≼ " 。集合A与A上的偏序关系 ≼ 一起称为偏序集，记为 <A, ≼> 。

设 ≼ 为偏序关系，若<x, y> ∈≼, 读为 "x小于或等于y", 记作 x ≼ y. 例如：整数集合上的小于等于关系LE ᴀ 也是偏序关系。

学到这里，我们要明白一个概念：

等价关系——————————> 分类

偏序关系——————————> 排序

从定义来看，等价关系与偏序关系的差别，只是对称性与反对称性，但这两种关系的特性完全不同。

· 偏序关系可表示幂集上的包含关系； {1} {1, 2}

· 偏序关系可表示正整数集合上的整除关系； 24， 34，43

· 偏序关系可表示实数集上的大于等于关系； 42；

我们绝不能从符号的表象上，简单地理解为小于等于！

~~~~~~~~~~

2.1 可比与覆盖

（1）可比

定义：设R是非空集合A上的偏序关系， x, y A,

如果 x y 或 y x，则称 x 与 y可比；
如果 x y 且不存在 zA ，使得x z y, 则称 y 覆盖 x。

例如：正整数集合上的整除关系中， 2 与 4 可比，6与3可比，4和3不可比，因为4和3不能整除；

4 和 6 覆盖2，但 8、12等均不覆盖2，因为8、12和2 之间还存在4.

可比的含义：两个元素存在包含关系。

覆盖的含义： y 比 x 要大并且不存在任何中间元素，这就叫做 y 覆盖 x。

三哈斯图

1. 先介绍覆盖的定义.

覆盖：设<A, ≼>为偏序集，对∀a, b∈A, 若a ≺ b且不存在c ∈A, 使得a≺c ≺b, 则称b覆盖a.

记作 COVA = {<a, b> | a ∈A ∧b∈A ∧b覆盖a }.

2. 哈斯图的定义

哈斯图：表示偏序关系的关系图称为哈斯图，表示规则为:

A中每个元素可用顶点表示
∀a, b∈A, 若 a≺b, 则将a 画在b 的下方；
∀a, b∈A, 若b覆盖a，则在 a 与 b之间画一条边；
哈斯图中省略从顶点到自身的边。

看一个例子

离散数学12_第5章关系与函数之等价关系与序关系、哈斯图相关推荐

离散数学10__第5章关系与函数_关系的性质_自反对称传递
一关系的定义设A. B是任意两个集合, A x B 的子集R称为从A到B的二元关系, 简称为关系. 特别地,当A=B时, 称R为A上的关系. 如果<x, y> ∈ R,可记为xRy, ...
《离散数学》：集合、关系和函数
〇.前言这章将会对集合.以及集合之上的关系.以及两个集合之间的映射情况做一个细致的讨论.集合作为数学和其他领域中的基础概念,具有广泛的应用和重要的地位.它为数学建立了基本的体系和推理方法,为各个领域 ...
【集合论】序关系 ( 哈斯图示例 | 整除关系哈斯图 | 包含关系哈斯图 | 加细关系哈斯图 )
文章目录一.哈斯图示例 ( 整除关系 ) 二.哈斯图示例 ( 包含关系 ) 三.哈斯图示例 ( 加细关系 ) 一.哈斯图示例 ( 整除关系 ) 集合 A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}A ...
【集合论】序关系 : 总结 ( 偏序关系 | 偏序集 | 可比 | 严格小于 | 覆盖 | 哈斯图 | 全序关系 | 拟序关系 | 偏序关系八种特殊元素 | 链 | 反链 ) ★★
文章目录一.偏序关系二.偏序集三.可比四.严格小于五.覆盖六.哈斯图七.全序关系 ( 线序关系 ) 八.拟序关系九.拟序关系相关定理十.偏序关系八种特殊元素十一.链十二.反链十 ...
离散数学——第三章关系
文章目录第三章关系 3.1.1.本章概述 3.2.关系 3.2.1关系的概念 3.3.2.关系的性质 3.3.3.关系的组成与复合 3.2.4.关系的表示 3.3.闭包(Closure) 3.3. ...
离散数学期末复习（谓词逻辑、集合、关系、函数、图、欧拉图与哈密顿图）
文章目录前言谓词逻辑命题符号化析取.合取范式前束范式 1.使用换名规则: 2.分配律 3.蕴含等值式(p->q) 例题1 例题2 构造推理证明 9条推理定律全称量词与存在量词的添 ...
离散数学——基本离散结构：集合，函数，序列，和式和矩阵
离散数学--基本离散结构:集合,函数,序列,和式和矩阵集合集合介绍本章,我们将学习所有离散结构的基础,集合.集合被用来组织对象.这些对象通常有相同的属性.我们先给出一些感性的定义. 定义:一个集 ...
【离散数学】数理逻辑第一章命题逻辑(5) 对偶式、对偶原理
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
【离散数学】数理逻辑第一章命题逻辑(7) 命题逻辑的推理理论
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
第6章关系数据理论—范式的介绍
第6章关系数据理论-范式的介绍本文全部内容来自数据库系统概论(第5版)-王珊.萨师煊著部分函数依赖图,出于自己的理解,如有错误,请大家评论指正! 范式:关系数据库中需要满足的一定要求的规范形式. ...

最新文章

热门文章