粗糙集理论介绍（一）（rough set）

首先介绍基本粗糙集理论，之后介绍多粒度粗糙集，优势粗糙集，邻域粗糙集等

1.基本概念

信息系统：

定义一个四元组称之为信息系统，表示为(U,Q,V,f)(U,Q,V,f)(U,Q,V,f)，其中：
UUU是对象集合，又称为论域，即x1,x2,x3…
QQQ是属性集合（包括条件属性C和决策属性D）
VVV是属性的值域
fff是一种映射，反应对象之间的值
如下面表格即为信息系统：

U	A1	A2	A3	A4
1	0	0	1	0
2	1	0	2	1
3	1	1	1	0
4	0	2	1	1
5	1	2	1	0

其中U={1,2,3,4,5}U=\{1,2,3,4,5\}U={1,2,3,4,5},Q={A1,A2,A3,A4}Q=\{A1,A2,A3,A4\}Q={A1,A2,A3,A4},V={0,1,2}V=\{0,1,2\}V={0,1,2}

知识：

粗糙集中，知识被认为是一种分类能力，根据事务特征差别将其分门别类的能力都可以看作某种知识。
论域中相互间不可分辨的对象组成的集合，是组成知识的颗粒（grannule）。知识的粒度越小，能精确的表达的概念越多。知识的表示形式：不可分辨关系/等价类，粒度是知识的最小单位。

不可分辨（等价）关系：

不可分辨率关系即等价关系，详细定义可以参见离散数学的内容。在粗糙集中，指分类过程中，相差不大的个体被归类于同一类，他们的关系就是不可区分关系。
对于任何一个属性的集合PPP，不可分辨关系用INDINDIND表示，定义如下：
IND(P)={(x,y)∈U×U:f(x,a)=f(a,x),a∈P}IND(P)=\{(x,y)\in U \times U:f(x,a)=f(a,x),a\in P\}IND(P)={(x,y)∈U×U:f(x,a)=f(a,x),a∈P}
不可分辨关系就是U上的等价关系。
基本集：由论域中相互间不可区分的对象组成的集合，是组成论域知识的颗粒。
如下表描述：

U	R1 （颜色）	R2（形状）	R3（体积）
X1	红	圆形	小
X2	蓝	方形	大
X3	红	三角形	小
X4	蓝	三角形	小
X5	黄	圆形	小
X6	黄	方形	小
X7	红	三角形	大
X8	黄	三角形	大

取不同的属性组合，可以得到不同的等价关系(粒度)为：
IND(R1)={{x1,x3,x7},{x2,x4},{x5,x6,x8}}
IND(R1,R2)={{x1},{x2},{x3,x7},{x4},{x5},{x6},{x8}}

集合的上下近似：

根据知识判断对象a是否属于集合X，由三种情况：a肯定属于集合X、a可能属于集合X也可能不属于集合X，a不可能属于集合X。关于上下近似的具体定于如下：
设U为论域（非空对象集合），I为U中的等价关系，X⊂UX\subset UX⊂U，则有：

集合X关于关系I的下近似是根据享有的知识判断肯定属于X的对象所组成的最大集合，有时也成为X的正区域，记为POS（X）：
I∗={x∈U:I(x)⊂X}I_*=\{ x\in U:I(x)\subset X\}I∗={x∈U:I(x)⊂X}

集合X关于I的上近似是由所有与X相交的非空等效类I（x）的并集，是哪些可能属于X的对象的组成的最小集合：
I∗={x∈U:I(x)∩X≠∅}I^*=\{ x\in U:I(x)\cap X\neq \emptyset\}I∗={x∈U:I(x)∩X=∅}

如果一个集合的上下近似相等，则该集合成为精确集合，否则称之为粗糙集，其中下近似称之为该概念的正区域，上下近似的差称之为边界。上近似以为的区域称之为负区域，记为NEG（X）

BND(X)=I∗(X)−I∗(X)BND(X)=I^*(X)-I_*(X)BND(X)=I∗(X)−I∗(X)
I∗(X)+NEG(X)=论域UI^*(X)+NEG(X)=论域UI∗(X)+NEG(X)=论域U

对于如下表格：

U	R1 （颜色）	R2（形状）	R3（体积）	class
X1	红	圆形	小	1
X2	蓝	方形	大	1
X3	红	三角形	小	1
X4	蓝	三角形	小	1
X5	黄	圆形	小	2
X6	黄	方形	小	2
X7	红	三角形	大	2
X8	黄	三角形	大	2

等价类IND(R1)={{x1,x3,x7},{x2,x4},{x5,x6,x8}}
X={x1,x2,x3,x4}
这样根据前面的上下近似得求法，很容易得到：
I∗(X)=x2,x4I_*(X)={x2,x4}I∗(X)=x2,x4
I∗(X)=x1,x3,x7,x2,x4I_*(X)={x1,x3,x7,x2,x4}I∗(X)=x1,x3,x7,x2,x4

粗糙度：

使用粗糙度来描述粗糙集得近似程度，定义如下：
β=I∗(X)I(X)\beta=\frac{I_*(X)}{I^(X)}β=I(X)I∗(X)

粗糙隶属函数：

含糊集合没有清晰得边界，即，根据论域中现有知识无法判定某些元素是否属于该集合，在粗糙集中，不确定性概念是针对元素隶属于集合得程度而言的：
uxIX=X∩I(X)I(X)u_x^I{X}=\frac{X\cap I(X)}{I(X)}uxIX=I(X)X∩I(X)
也可以使用粗糙隶属函数来定义集合X的逼近和边界区：
I∗(X)={x∈U:uxI(x)=1}I_*(X)=\{x\in U: u_x^I(x)=1\}I∗(X)={x∈U:uxI(x)=1}
I∗(X)={x∈U:uxI(x)>1}I^*(X)=\{x\in U: u_x^I(x)>1\}I∗(X)={x∈U:uxI(x)>1}
BND(X)={x∈U:uxI(x)>1}BND(X)=\{x\in U: u_x^I(x)>1\}BND(X)={x∈U:uxI(x)>1}

其他数学概念：

下面这些概念需要了解，以加深对粗糙集理论的理解：
笛卡尔积，关系，二元关系，等价关系，等价类，自反性、对称性、传递性等等