数学基础_若要使骰子(六个面)的每个数都出现至少一次，那么平均需要掷多少次骰子？

记每个数字都出现（首次出现）的总数为X，题目中的意思也就是求E(X).由于X的分布相当复杂，我们就绕开它，考虑将X分解。

令X1 = 1，它表示出现第一个数字需要掷的次数。注意：这里第一个数字是指第一个出现的数字，并不是指哪一个固定的数字，所以才有X1 = 1。

然后以X2表示为了掷出第二个数字（即只要不是第一个出现的那个数字）再需要掷的次数。同样地，以X3表示为了掷出第三个数字（即除了前面两个已经出现的数字外，再出现的一个新数字）再需要掷的次数。以此类推，同样我们定义X4，X5，X6。这样一来，就有X = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6。

所以我们可以推出E(X) = E(X1 + X2 +X3 + X4 + X5 + X6) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4) + E(X5) + E(X6)。

易得，E(X1) = 1。Xi（i >= 2 )实际上就是等待新的数字出现需要的等待时间，服从几何分布。每次投掷时新数字出现的概率为[1 - (i -1)/6] （因为已经出现过i -1种数字），几何分布的期望值就是其概率的倒数，所以E(X2) = 6/5,E(X3) = 6/4,E(X4) = 6/3,E(X5) = 6/2,E(X6) = 6/1。

所以E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4) + E(X5) + E(X6) =49/3

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