函数连续性

设 y = f(x) 在 x0处的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 $\Delta x = x - x0$ 趋近于零时，对应的函数值变化量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 也趋近于零，即 $\lim _{\Delta x \to 0}\Delta y = 0$ ，则称函数 y = f(x) 在 x0 点连续。

这个定义如何理解，看图就很明白了

图片原地址： https://www.wendangwang.com/doc/ce215e8c225ce3321899ebc7/2

如果函数在x0处连续（左图），那么无论 $\Delta x$ 是正还是负（x向右或向左变化），对应 $x_0 + \Delta x$ 处的函数值会无限接近 $f(x_0)$ ，因此函数值的变化量 $\Delta y = 0$ 。从图上看就是曲线没有断开。

如果函数在x0不连续（如右图），当 $\Delta x$ < 0时，从x0左侧无限逼近x0,从图上可以看到 $\Delta y = 0$ ；但当 $\Delta x$ >0时，从x0右侧无限逼近x0时， $\Delta y \neq 0$ 。这种情况下，函数仅左侧连续，曲线断开。

函数的单侧连续定义：

如果函数 y = f(x) 左极限 $\lim _{x \to x_{\bar{0}-}} = f(x_{0-})$ 存在且等于 $f(x_0)$ ，则称 f(x)在 x0点左连续；

如果右极限 $\lim _{x \to x_{\bar{0}+}} = f(x_{0+})$ 存在且等于 $f(x_0)$ ，则称 f(x)于 x0 点右连续。

函数在一点连续的充要条件是在该点处既左连续又右连续。

区间连续性：如果函数在开区间(a,b)里每个点都连续，则函数在(a,b)中连续。如果函数在闭区间[a,b]中连续，则函数在(a,b)中连续,并且左端点a右连续，右端点b左连续。

函数间断点

设函数 y = f(x) 在 x0点的某去心邻域内有定义。如果 f(x)有下列三种情形之一：

1.在x0处没有定义；

2.在x0处有定义，但极限 $\lim _{x \to x_0} f(x)$ 不存在；

3.在x0处有定义，极限 $\lim _{x \to x_0} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ ；

则函数y = f(x)在x0处不连续，称x0为f(x)的间断点，下面看几种不同类型的间断点：

1. tanx的函数图像如下

以 $x = \pi / 2$ 为例，函数在 $x = \pi / 2$ 处没有定义，这个点是tanx的一个间断点，由于 $\lim _{x \to \pi/2} f(x) = \infty$ ,因此这个点是tanx的无穷中断点。

2. $y = sin\frac{1}{x}$ 图像

此函数在x = 0处没有定义，在x = 0点的左右两侧，函数值不停地在[-1,1]之间震动，x = 0点是函数的震荡间断点。

3. $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ 图像

此函数在x = -1处无定义，但x = -1处左右极限都存在，且左右极限都等于-2，如果加上(-1,-2)这个点，函数就连续了，x = -1叫做函数的可去间断点。

4. $f(x) = \left \{ x -1 (x < 0); 0(x = 0); x + 1(x > 0) \right \}$

此函数在x = 0处有定义，左右极限都存在，但左右极限不相等，x = 0点叫做函数的跳跃间断点。

通常间断点分两类：

第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），x0是 f(x)的间断点，左极限与右极限都存在（不一定相等）。

第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）, x0是 f(x)的间断点，左极限与右极限中至少有一个极限不存在。

参考

第九讲函数的连续性与函数的间断点 - 知乎

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