数学表达式：

1. Abel变换（Abel transform）是一种积分变换，常用于球对称或轴对称函数的分析，其数学表达式为：

$F(y)=2\int_y ^\infty\frac{f(r)rdr}{\sqrt{r^2-y^2}}$ （1）

2.Abel逆变换（ inverse Abel transform），其数学表达式为：

$f(r)=-\frac{1}{\pi}\int_r ^\infty \frac{dF}{dy} \frac{dy}{\sqrt{y^2-r^2}}$ （2）

应用：

Abel逆变换常应用在轴对称的、光学薄的火焰、羽流或等离子体重建。

通常在对等离子体柱或火焰等物体的光学测量是沿着视线积分的，如图所示，观测者(I)沿着一条与x轴平行的直线观察，距离原点y。观察者看到的是圆对称函数f(r)沿视线的投影(即积分)。函数f(r)在图中用灰色表示。利用Abel逆变换可以从测量的投影中还原出原有光源的光强三维分布。

Abel逆变换的求解：

Abel逆变换存在许多求解方法，分为两大类，即解析法和数值法。解析法包括：三次样条函数法，积分算子法等。数值法包括：直接离散法（direct-discretization，DD），Hankel - Fourier变换法，Nestor-Olsen法(NO)等。

需要注意公式（2）在y=r处不连续，需要平滑处理避免不连续。

1.直接离散法：

直接将方程（2）离散为：

$f(r_j)=- \frac{1}{\pi} \sum_{i=j}^{N-1}\frac{F(y_{i+1})-F(y_i)}{\sqrt{(y_i+\frac{\Delta y}{2})^2-r_j^2}}$ （3）

分母轻微改动是为了避免y=r处的不连续。

2.Hankel-Fourier变换法：

通过将积分变量y改为 $\omega$ 来避免不连续。

对F(y)进行Fourier变换，得：

$FT(F(y))=\tilde{F}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(y)exp{(\tilde{i}y\omega)}dy$ （4）

将式（1）代入式（4），得：

$\tilde{F}(\omega)=2\pi\int_0^{\infty}f(r)rJ_0(r\omega)dr=2\pi HT(f(r))$ (5)

其中， $J_0$ 是0阶Bessel函数， $HT(f(r))$ 是f(r)得0阶Hankel变换。

因此，f(r)可以从Hankel逆变换得到：

$f(r)=\frac{1}{2\pi}HT^{-1}(\tilde{F}(\omega))=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}\tilde{F}(\omega)\omega J_0(r\omega)d\omega$ (6)

由于上式不存在奇异点，直接对式（6）离散，得：

$f(r_j)=\frac{1}{2\pi[(2N+1)\Delta x]^2}\sum_{i=-N}^{N}F(y_i)\sum_{k=0}^{N}cos[(\frac{i}{2N+1})k]kJ_0( \frac{jk}{2N+1})$ (7)

3. Nestor-Olsen法：

该算法由Nestor和Olsen提出，f(r)与F(r)之间得关系由下式给出：

$f(r_j)=-\frac{2}{\pi \Delta y}\sum_{i=j}^{N-1}F(y_i)B_{j,i}$ (8)

其中，Bj,i满足：

$\left\{\begin{matrix} B_{j,i}=A_{j,i-1}-A_{j,i}, i\geqslant j+1 \\ B_{j,i}=-A_{j,i}, i\geqslant =j \end{matrix}\right.$ （9）

其中， $A_{j,i}=\frac{[i^2-(j-1)^2]^{\frac{1}{2}}-[(i-1)^2-(j-1)^2]^{\frac{1}{2}}}{2i-1}$ (10)

4.三次样条函数法：

该方法的基本思路是利用已知得离散像函数点F(y)，还原出连续的原函数f(r)，再进行求导。首先对所有点进行分段，利用局部三阶多项式在每一对相邻测量点之间，多项式及其导数的连续性，推导f(r)。

Abel逆变换简化为下式：

$Q_k(\alpha,\beta)=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{y^k}{\sqrt{y^2-{\alpha}^2}}dy, k\leqslant 2,0<\alpha\leqslant \beta \leqslant R$ (11)

5.积分算子法：

基本思路：对Abel逆变换的定义是进行分部积分。

今天太晚了，明天继续写吧。

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