poj 1673(EXOCENTER OF A TRIANGLE) (垂心证明）

poj 1673(EXOCENTER OF A TRIANGLE) (垂心证明）

http://poj.org/problem?id=1673

题目简单描述：

给一个三角形，分别以三条边向外做正方形，连接相邻的正方形顶点，得到如上图所示的图形，分别作新得到的三个三角形中线，三线相交于一点，求这一点的坐标。

解答过程：

实际上，是求原来三角形的垂心，证明如下：

1.延长CO到交AB于Q；

2.延长CN到P,使PN=CN,连接FP,很容易得到△PNF≌△CNH，所以角NCH=角NPF，而在三角形中角CFP=180'-（角NPF+角FCN）=180'-（角NCH+角NCF）=角ACB；

3.因为CF=AC，FP=CB，角CFP=角ACB，所以△CFP≌△ACB，所以角FCP=角BAC，而角FCP+角ACO等于90'，所以角BAC+角ACO等于90'，所以CO垂直于AB。

题目总结：

1.记住一些小的知识点，能够很快速的解题。

2.而每一个小的知识点，都是靠自己正确全面的证明得到的，，多思考，多证明一些小知识点，不断积累，不断向自己的头脑投资。

代码如下：

//180k   0ms   //实质上就是求三角形的垂心
#include<iostream>
#define eps 1e-8
using namespace std;
struct Point
{
double x,y;
};
Point symmetric_point(Point p1, Point l1, Point l2)       //求一点关于直线的对称点
{
Point ret;
if(l1.x>l2.x-eps&&l1.x<l2.x+eps)
{
ret.x=(2*l1.x-p1.x);
ret.y = p1.y;
}
else if(l1.y>l2.y-eps&&l1.y<l2.y+eps)
{
ret.x=p1.x;
ret.y=2*l1.y-p1.y;
}
else
{
double k = (l1.y - l2.y ) / (l1.x - l2.x);
ret.x = (2*k*k*l1.x + 2*k*p1.y - 2*k*l1.y - k*k*p1.x + p1.x) / (1 + k*k);
ret.y = p1.y - (ret.x - p1.x ) / k;
}
return ret;
}
Point Intersection(Point u1,Point u2,Point v1,Point v2)
{
Point ret=u1;
double t=((u1.x-v1.x)*(v1.y-v2.y)-(u1.y-v1.y)*(v1.x-v2.x))/((u1.x-u2.x)*(v1.y-v2.y)-(u1.y-u2.y)*(v1.x-v2.x));
ret.x+=(u2.x-u1.x)*t;
ret.y+=(u2.y-u1.y)*t;
return ret;
}
int main()
{
int n;
Point a,b,c,temp1,temp2;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
while(n--)
{
scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a.x,&a.y,&b.x,&b.y,&c.x,&c.y);
temp1=symmetric_point(a,b,c);    //求出a关于直线b,c的对称点 temp1
temp2=symmetric_point(b,a,c);     // 求出b关于直线a,c的对称点 temp2
c=Intersection(a,temp1,b,temp2);  //求出a,temp1,btemp2的交点
printf("%.4lf %.4lf\n",c.x,c.y);
}
}
return 0;
}

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