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这道题是多么的妙啊，完全不是我能推出来的式子呢！

观察数据范围，有点奇怪欸，在暗示我？？

考虑暴力枚举nnn
S(n,m)=∑i=1mφ(n×i)S(n,m)=\sum_{i=1}^mφ(n\times i)S(n,m)=i=1∑mφ(n×i)
神奇的操作来了，将nnn质因数分解，并把不同的质因数分别拿出一个
n=∏piein=\prod p_i^{e_i}n=∏piei
q=∏piq=\prod p_iq=∏pi
p=∏piei−1p=\prod p_i^{e_i-1}p=∏piei−1
则有p×q=np\times q=np×q=n

若i%j=0i\% j=0i%j=0，则φ(ij)=φ(i)×jφ(ij)=φ(i)\times jφ(ij)=φ(i)×j

若(i,j)=1(i,j)=1(i,j)=1，则φ(ij)=φ(i)×φ(j)φ(ij)=φ(i)\times φ(j)φ(ij)=φ(i)×φ(j)

S(n,m)=∑i=1mφ(n×i)S(n,m)=\sum_{i=1}^mφ(n\times i)S(n,m)=i=1∑mφ(n×i)=p⋅∑i=1mφ(q×i)=p\ ·\sum_{i=1}^mφ(q\times i)=p ⋅i=1∑mφ(q×i)=p⋅∑i=1mφ(qgcd(q,i)×i×gcd(q,i))=p\ ·\sum_{i=1}^mφ(\frac{q}{gcd(q,i)}\times i\times gcd(q,i))=p ⋅i=1∑mφ(gcd(q,i)q×i×gcd(q,i))=p⋅∑i=1mφ(qgcd(q,i))φ(i×gcd(q,i))=p\ ·\sum_{i=1}^mφ(\frac{q}{gcd(q,i)})φ(i\times gcd(q,i))=p ⋅i=1∑mφ(gcd(q,i)q)φ(i×gcd(q,i))=p⋅∑i=1mφ(qgcd(q,i))φ(i)gcd(q,i)=p\ ·\sum_{i=1}^mφ(\frac{q}{gcd(q,i)})φ(i)gcd(q,i)=p ⋅i=1∑mφ(gcd(q,i)q)φ(i)gcd(q,i)=p∑i=1mφ(qgcd(q,i))φ(i)∑d∣gcd(q,i)φ(d)=p\sum_{i=1}^mφ(\frac{q}{gcd(q,i)})φ(i)\sum_{d|gcd(q,i)}φ(d)=pi=1∑mφ(gcd(q,i)q)φ(i)d∣gcd(q,i)∑φ(d)=p∑i=1mφ(i)∑d∣i,d∣qφ(qd)=p\sum_{i=1}^mφ(i)\sum_{d|i,d|q}φ(\frac{q}{d})=pi=1∑mφ(i)d∣i,d∣q∑φ(dq)=p∑d∣qφ(qd)∑i=1⌊md⌋φ(i×d)=p\sum_{d|q}φ(\frac{q}{d})\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}φ(i\times d)=pd∣q∑φ(dq)i=1∑⌊dm⌋φ(i×d)=p∑d∣qφ(qd)S(d,⌊md⌋)=p\sum_{d|q}φ(\frac{q}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)=pd∣q∑φ(dq)S(d,⌊dm⌋)

φφφ用杜教筛，应该是老熟人了
S(n,m)S(n,m)S(n,m)记忆化一下，应该就没了

code

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define int long long
#define maxn 200000
map < int, int > mp, s[maxn];
int cnt;
int minp[maxn + 5]; //minp[i]:i的最大质因子
int prime[maxn], phi[maxn + 5]; //phi[i]:1~i的phi的前缀和
bool vis[maxn + 5];void init() {phi[1] = 1;for( int i = 2;i <= maxn;i ++ ) {if( ! vis[i] ) prime[++ cnt] = i, minp[i] = i, phi[i] = i - 1;for( int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= maxn;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1, minp[i * prime[j]] = prime[j];if( i % prime[j] == 0 ) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] % mod;//与式子推导的第二步为什么p能直接从φ里面拿出来呼应break;}elsephi[i * prime[j]] = phi[i] * ( prime[j] - 1 ) % mod;}}for( int i = 1;i <= maxn;i ++ ) phi[i] = ( phi[i] + phi[i - 1] ) % mod;
}int Phi( int n ) {if( n <= maxn ) return phi[n];if( mp[n] ) return mp[n];int ans = n * ( n + 1 ) / 2 % mod;for( int i = 2, r;i <= n;i = r + 1 ) {r = n / ( n / i );ans = ( ans - ( r - i + 1 ) * Phi( n / i ) % mod + mod ) % mod;}return mp[n] = ans;
}int solve( int n, int m ) {if( ! m ) return 0;if( s[n][m] ) return s[n][m];if( n == 1 ) return s[n][m] = Phi( m );if( m == 1 ) return s[n][m] = ( Phi( n ) - Phi( n - 1 ) + mod ) % mod;vector < int > g;int p = 1, q = 1, N = n, x;while( N > 1 ) {x = minp[N], q *= x, N /= x, g.push_back( x );while( N % x == 0 ) N /= x, p *= x;}int len = g.size(), ans = 0;for( int i = 0;i < ( 1 << len );i ++ ) { //枚举q的所有质因子(状压) int d = 1;for( int j = 0;j < len;j ++ )if( i & ( 1 << j ) ) d = d * g[j]; //二进制位为1则有该质因子ans = ( ans + ( Phi( q / d ) - Phi( q / d - 1 ) + mod ) % mod * solve( d, m / d ) % mod ) % mod;}return s[n][m] = ans * p % mod;
}signed main() {int n, m;scanf( "%lld %lld", &n, &m );init();int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) ans = ( ans + solve( i, m ) ) % mod;printf( "%lld\n", ans );return 0;
}

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