Lady Layton with Math（杜教筛）

Lady Layton with Math

∑i=1n∑j=1nϕ(gcd(i,j))∑d=1nϕ(d)∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]∑d=1nϕ(d)∑i=1nd∑j=1nd[gcd(i,j)=1]∑d=1nϕ(d)(2∑i=1nd∑j=1i[gcd(i,j)=1]−1)∑d=1nϕ(d)(2∑i=1ndϕ(i)−1)\sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \phi(gcd(i, j))\\ \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} [gcd(i, j) = d]\\ \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1} ^{\frac{n}{d}} [gcd(i, j) = 1]\\ \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \left(2 \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1} ^{i} [gcd(i, j) = 1] - 1 \right)\\ \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d)\left(2 \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \phi(i) - 1 \right)\\ i=1∑nj=1∑nϕ(gcd(i,j))d=1∑nϕ(d)i=1∑nj=1∑n[gcd(i,j)=d]d=1∑nϕ(d)i=1∑dnj=1∑dn[gcd(i,j)=1]d=1∑nϕ(d)⎝⎛2i=1∑dnj=1∑i[gcd(i,j)=1]−1⎠⎞d=1∑nϕ(d)⎝⎛2i=1∑dnϕ(i)−1⎠⎞

/*Author : lifehappy
*/
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 7;int prime[N], cnt, n;ll phi[N];bool st[N];void init() {phi[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) {prime[++cnt] = i;phi[i] = i - 1;}for(int j = 1; j <= cnt && 1ll * i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}for(int i = 1; i < N; i++) {phi[i] = (phi[i] + phi[i - 1]) % mod;}
}unordered_map<int, ll> ans_s;ll Djs(int n) {if(n < N) return phi[n];if(ans_s.count(n)) return ans_s[n];ll ans = 1ll * n * (n + 1) / 2 % mod;for(int l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {r = n / (n / l);ans = (ans - (r - l + 1) * Djs(n / l) % mod + mod) % mod;}return ans_s[n] = ans;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T;init();scanf("%d", &T);while(T--) {ll ans = 0;scanf("%d", &n);for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {r = n / (n / l);ans = (ans + 1ll * (Djs(r) - Djs(l - 1)) * (2ll * Djs(n / l) - 1) % mod + mod) % mod;}printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

Lady Layton with Math（杜教筛）相关推荐

[NC 200008] Lady Layton with Math (杜教筛)
题意求 ∑i=1n∑j=1nφ(gcd⁡(i,j))\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \varphi(\gcd(i,j))i=1∑nj=1∑nφ(gcd(i,j)) 1≤ ...
HDU 6607 Easy Math Problem（杜教筛 + min_25 + 拉格朗日插值）
Easy Math Problem 推式子 ∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)Klcm(i,j)[gcd(i,j)∈prime]∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)K−1ij[gcd(i,j)∈pr ...
Easy Math（ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络预赛）（递归 + 杜教筛）
Easy Math 推式子 ∑i=1mμ(in)∑i=1mμ(i×nd×d),d是n的一个质因子i,d互质项有(−∑i=1mμ(i×nd)),由于减去了多余的非互质项,所以加上,−∑i=1mμ(i×n ...
【BZOJ3512】DZY Loves Math IV（杜教筛）
[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10165338.html
2018 ICPC 徐州网络赛 D. Easy Math（思维，反演，杜教筛）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划题目链接 https://nanti.jisuanke.com/t/A2003 Problem 计算 ...
bzoj 3512: DZY Loves Math IV【欧拉函数+莫比乌斯函数+杜教筛】
参考:http://blog.csdn.net/wzf_2000/article/details/54630931 有这样一个显然的结论:当$ |\mu(n)|==1 $时,\( \phi(nk) ...
DZY Loves Math IV（杜教筛）
文章目录 title solution code title solution 这道题是多么的妙啊,完全不是我能推出来的式子呢! 观察数据范围,有点奇怪欸,在暗示我?? 考虑暴力枚举nnn S(n,m ...
杜教筛--51nod1239 欧拉函数之和
求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$,$n\leqslant 1e10$. 这里先把杜教筛的一般套路贴一下: 要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$,而现在有一数论 ...
数论函数 - 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演 - 基础杜教筛
原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8627380.html 省选后发现我数学好差.于是先从数论开始学习. 如果发现本文有任何错误,欢迎留言指正. 本文 ...

Lady Layton with Math（杜教筛）

Lady Layton with Math

Lady Layton with Math（杜教筛）相关推荐

最新文章

热门文章