1D/1D动态规划的三种优化方法

1D/1D1D/1D1D/1D动态规划

形如dp[i]=min{dp[j]+w(j,i)}(Li≤j≤Ri)dp[i]=min\{dp[j]+w(j,i)\} (L_i\leq j\leq R_i)dp[i]=min{dp[j]+w(j,i)}(Li≤j≤Ri) 的dpdpdp方程被称作1D/1D1D/1D1D/1D动态规划，其中LiL_iLi和RiR_iRi单调递增，w(j,i)w(j,i)w(j,i)决定着优化策略选择。

(dp[i]=max{dp[j]+w(j,i)}dp[i]=max\{dp[j]+w(j,i)\}dp[i]=max{dp[j]+w(j,i)}与dp[i]=min{dp[j]+w(j,i)}dp[i]=min\{dp[j]+w(j,i)\}dp[i]=min{dp[j]+w(j,i)}类似，本文不赘述)

决策单调性优化DP

决策单调性

设j0[i]j_0[i]j0[i]表示dp[i]dp[i]dp[i]转移的最优决策点，那么决策单调性可描述为 ∀i≤j,j0[i]≤j0[j]\forall i\leq j,j_0[i]\leq j_0[j]∀i≤j,j0[i]≤j0[j]。也就是说随着iii的增大，所找到的最优决策点是递增态（非严格递增）。

四边形不等式

表述1：
w(x,y)w(x,y)w(x,y)为定义在整数集合上的一个二元函数，若 ∀a≤b≤c≤d,w(a,c)+w(b,d)≤w(a,d)+w(b,c)\forall a\leq b\leq c\leq d,w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)∀a≤b≤c≤d,w(a,c)+w(b,d)≤w(a,d)+w(b,c)，那么函数www满足四边形不等式。

表述2：
w(x,y)w(x,y)w(x,y)为定义在整数集合上的一个二元函数，若 ∀a<b,w(a,b)+w(a+1,b+1)≤w(a+1,b)+w(a,b+1)\forall a<b,w(a,b)+w(a+1,b+1)\leq w(a+1,b)+w(a,b+1)∀a<b,w(a,b)+w(a+1,b+1)≤w(a+1,b)+w(a,b+1)，那么函数www满足四边形不等式。

定理：

1D/1D1D/1D1D/1D动态规划具有决策单调性当且仅当函数www满足四边形不等式 时成立。

实现

单调队列优化DP

形如dp[i]=min{dp[j]+A(i)+B(j)}dp[i]=min\{dp[j]+A(i)+B(j)\}dp[i]=min{dp[j]+A(i)+B(j)}的dpdpdp方程均可尝试使用单调队列优化。

实现

斜率优化DP

形如dp[i]=min{A(i)×B(j)+C(i)+D(j)}dp[i]=min\{A(i)\times B(j)+C(i)+D(j)\}dp[i]=min{A(i)×B(j)+C(i)+D(j)}的dpdpdp方程可尝试使用斜率优化。

1.0 B(j)B(j)B(j)严格单调递增

法一：线性规划

考虑把 dp[i]=A(i)×B(j)+C(i)+D(j)dp[i]=A(i)\times B(j)+C(i)+D(j)dp[i]=A(i)×B(j)+C(i)+D(j) 化成y=kx+by=kx+by=kx+b的形式，其中y,xy,xy,x只与jjj有关，k,bk,bk,b只与iii有关，且 xxx严格单调递增。

则有：
D(j)=−A(i)×B(j)+dp[i]−C(i)D(j)=-A(i)\times B(j)+dp[i]-C(i)D(j)=−A(i)×B(j)+dp[i]−C(i)
其中y=D(j),k=−A(i),x=B(j),b=dp[i]−C(i)y=D(j),k=-A(i),x=B(j),b=dp[i]-C(i)y=D(j),k=−A(i),x=B(j),b=dp[i]−C(i)

在平面直角坐标系上把所有的(xj,yj)(x_j,y_j)(xj,yj)（即(B(j),D(j))(B(j),D(j))(B(j),D(j))）标出来。
要令dp[i]dp[i]dp[i]最小，则要令bbb最小，即是要找到某一点(xj,yj)(x_j,y_j)(xj,yj)，使斜率为kkk的直线经过该点时算出来的bbb最小。
发现只有在给出点的下凸壳上的点可能成为最优决策点。

法二：代数法+数形结合

设j1,j2j_1,j_2j1,j2 (0≤j1<j2<i)(0\leq j_1<j_2<i)(0≤j1<j2<i) 为dp[i]dp[i]dp[i]的两个决策点，且决策点j2j_2j2优于j1j_1j1，则有：
A(i)×B(j2)+C(i)+D(j2)≤A(i)×B(j1)+C(i)+D(j1)A(i)\times B(j_2)+C(i)+D(j_2)\leq A(i)\times B(j_1)+C(i)+D(j_1)A(i)×B(j2)+C(i)+D(j2)≤A(i)×B(j1)+C(i)+D(j1)

化简式子，使不等号左边只与iii有关，不等号右边只与j1,j2j_1,j_2j1,j2有关：
A(i)≤−D(j2)−D(j1)B(j2)−B(j1)A(i)\leq -\frac{D(j_2)-D(j_1)}{B(j_2)-B(j_1)}A(i)≤−B(j2)−B(j1)D(j2)−D(j1)
−A(i)≥D(j2)−D(j1)B(j2)−B(j1)-A(i)\geq \frac{D(j_2)-D(j_1)}{B(j_2)-B(j_1)}−A(i)≥B(j2)−B(j1)D(j2)−D(j1)
设xj=B(j),yj=D(j)x_j=B(j),y_j=D(j)xj=B(j),yj=D(j)，则D(j2)−D(j1)B(j2)−B(j1)\frac{D(j_2)-D(j_1)}{B(j_2)-B(j_1)}B(j2)−B(j1)D(j2)−D(j1)可以看作Pj1(xj1,yj1)P_{j_1}(x_{j_1},y_{j_1})Pj1(xj1,yj1),Pj2(xj2,yj2)P_{j_2}(x_{j_2},y_{j_2})Pj2(xj2,yj2)两点连线的斜率。

也就是说，如果存在两个决策点j1,j2j_1,j_2j1,j2满足0≤j1<j2<i0\leq j_1<j_2<i0≤j1<j2<i，使得Pj1P_{j_1}Pj1,Pj2P_{j_2}Pj2两点连线的斜率≤−A(i)\leq -A(i)≤−A(i)，那么决策点j2j_2j2优于j1j_1j1。

于是，对于这样子的三个点，可证BBB一定不是最优决策点。

我们可以将BBB从候选决策点中踢出去（删除），只留下AAA和CCC，删后的情况如下图所示：

最终，我们维护的候选决策点应该构成了一个下凸壳：

实现

进一步优化

若k0(i)=−A(i),B(j)k_0(i)=-A(i),B(j)k0(i)=−A(i),B(j)均单调不减，则该dpdpdp方程必定有决策单调性。那么就不需要在凸壳上二分找最优决策点了。