1 Bresenham直线

1.1 起始条件

终点坐标
起始点坐标

通过终点坐标和起始点坐标可以得到直线方程：

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 8: y=kx+b\̲l̲a̲b̲e̲l̲{1}\tag{1}

然后选定主位移方向：
{X轴∣k∣<1Y轴∣k∣>1(2)\begin{cases} X\text{轴}& \left|k\right|<1\\\tag{2} Y\text{轴}& \left|k\right|>1\\ \end{cases} {X轴Y轴∣k∣<1∣k∣>1(2)

1.2 构造中点误差项

从Pi(xi,yi)P_i(\text{x}_i,\text{y}_i)Pi(xi,yi)点走第一步后为了选取下一个像素点，需将PuP_uPu和PdP_dPd的中点M(xi+1,yi+0.5)M(\text{x}_i+1,\text{y}_i+0.5)M(xi+1,yi+0.5)带入直线的隐函数方程，构造中点误差项did_idi
di=F(xM,yM)=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5−k(xi+1)−b(3)d_i=F(x_{_M},y_{_M})=F(x_i+1,y_i+0.5)=y_i+0.5-k(x_i+1)-b\tag{3} di=F(xM,yM)=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5−k(xi+1)−b(3)
根据did_idi判断选择下一个点为PuP_uPu还是PdP_dPd
yi+1={yi+1,di<0yi,di⩾0(4)y_{i+1}= \begin{cases} y_{i}+1,& d_i<0\\\tag{4} y_i,& d_i\geqslant0 \end{cases} yi+1={yi+1,yi,di<0di⩾0(4)

1.3 递推公式☆

1.3.1 中点误差项的递推公式

当di<0d_i<0di<0时，下一步进行判断的中点坐标为M(xi+2,yi+1.5)M(x_i+2,y_i+1.5)M(xi+2,yi+1.5)。所以下一步中点误差项为：

di+1=F（xi+2,yi+1.5）=yi+1.5−k(xi+2)−b=yi+0.5−k(xi+1)−b+1−k=di+1−k(5)\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i+1.5）=y_i+1.5-k(x_i+2)-b\\ &=y_i+0.5-k(x_i+1)-b+1-k\\ &=d_i+1-k \end{aligned}\tag{5} di+1=F（xi+2,yi+1.5）=yi+1.5−k(xi+2)−b=yi+0.5−k(xi+1)−b+1−k=di+1−k(5)

当di⩾0d_i\geqslant0di⩾0时，下一步的中点坐标为M(xi+2,yi+0.5)M(x_i+2,y_i+0.5)M(xi+2,yi+0.5)。所以下一步中点误差项为：
di+1=F（xi+2,yi+0.5）=yi+0.5−k(xi+2)−b=yi+0.5−k(xi+1)−b−k=di−k(6)\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i+0.5）=y_i+0.5-k(x_i+2)-b\\ &=y_i+0.5-k(x_i+1)-b-k\\ &=d_i-k \end{aligned}\tag{6} di+1=F（xi+2,yi+0.5）=yi+0.5−k(xi+2)−b=yi+0.5−k(xi+1)−b−k=di−k(6)

1.3.2 中点误差项的初始值

假设以xxx为主位移方向。因此，第一个中点坐标是(x0+1,y0+0.5)(x_0+1,y_0+0.5)(x0+1,y0+0.5)，相应的did_idi的初始值为：
d0=F(x0+1,y0+0.5)=y0+0.5−k(x0+1)−b=y0−kx0−b−k+0.5(7)\begin{aligned} d_0&=F(x_0+1,y_0+0.5)=y_0+0.5-k(x_0+1)-b\\ &=y_0-kx_0-b-k+0.5 \end{aligned}\tag{7} d0=F(x0+1,y0+0.5)=y0+0.5−k(x0+1)−b=y0−kx0−b−k+0.5(7)
其中，因此(x0，y0)(x0，y_0)(x0，y0)在直线上，所以y0−kx0−b=0y_0-kx_0-b=0y0−kx0−b=0，则

di=0.5−k(8)d_i=0.5-k\tag{8} di=0.5−k(8)

1.4 算法流程图

Created with Raphaël 2.3.0开始x<=x2输入x,ydi>=0di = di - ky=yx += 1输出x,ySetPixel()di = di + 1 - ky += 1;结束yesnoyesno

1.5 代码

void CMFCApplication1View::DrawLine(CDC* pDC, int x1, int y1, int x2, int y2)
{// TODO: 在此处添加实现代码.int dx = x2 - x1;int dy = y2 - y1;int deltaY = 0;int middle = dx;int y = y1;for (int i = x1;i < x2;i++) {pDC->SetPixel(i, y, RGB(30, 30, 30));deltaY += 2 * dy;if (deltaY >= middle) {y += 1;middle += 2 * dx;}}pDC->SetPixel(x2, y2, RGB(30, 30, 30));
}

1.6

void CMFCApplication1View::DrawLine(int x1, int y1, int x2, int y2, CDC* pDC){// TODO: 在此处添加实现代码.int dx = x2 - x1;int dy = y2 - y1;int di = 2*dx - 2*dy;int y = y1;for (int i = x1; i < x2; i++) {pDC->SetPixel(i, y, RGB(30, 30, 30));if (di < 0){di = di + 2 * (dx - dy);y++;}else{di = di - 2 * dy;}}
}

2 Bresenham圆

圆只需要画18\frac{1}{8}81的圆弧就行了，剩下的圆弧可以通过对称得到。

2.1 起始条件

半径R
起始点（x,y）

主位移方向为X轴方向

2.2 构造中点误差项

从Pi(xi,yi)P_i(\text{x}_i,\text{y}_i)Pi(xi,yi)点走第一步后为了选取下一个像素点，需将PuP_uPu和PdP_dPd的中点M(xi+1,yi+0.5)M(\text{x}_i+1,\text{y}_i+0.5)M(xi+1,yi+0.5)带入圆的隐函数方程，构造中点误差项did_idi
di=F(xM,yM)=F(xi+1,yi−0.5)=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2(9)d_i=F(x_{_M},y_{_M})=F(x_i+1,y_i-0.5)=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2\tag{9} di=F(xM,yM)=F(xi+1,yi−0.5)=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2(9)
根据did_idi判断选择下一个点为PuP_uPu还是PdP_dPd
yi+1={yi,di<0yi−1,di⩾0(10)y_{i+1}= \begin{cases} y_{i},& d_i<0\\\tag{10} y_i-1,& d_i\geqslant0 \end{cases} yi+1={yi,yi−1,di<0di⩾0(10)

2.3 递推公式☆

2.3.1 中点误差项的递推公式

当di<0d_i<0di<0时，下一步进行判断的中点坐标为M(xi+2,yi−0.5)M(x_i+2,y_i-0.5)M(xi+2,yi−0.5)。所以下一步中点误差项为：

di+1=F（xi+2,yi−0.5）=(xi+2)2+(yi−0.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3=di+2xi+3(11)\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i-0.5）=(x_i+2)^2+(y_i-0.5)^2-R^2\\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2+2x_i+3\\ &=d_i+2x_i+3 \end{aligned}\tag{11} di+1=F（xi+2,yi−0.5）=(xi+2)2+(yi−0.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3=di+2xi+3(11)

当di⩾0d_i\geqslant0di⩾0时，下一步的中点坐标为M(xi+2,yi−1.5)M(x_i+2,y_i-1.5)M(xi+2,yi−1.5)。所以下一步中点误差项为：
di+1=F（xi+2,yi−1.5）=(xi+2)2+(yi−1.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3+(−2yi+2)=di+2(xi−yi)+5(12)\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i-1.5）=(x_i+2)^2+(y_i-1.5)^2-R^2\\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2+2x_i+3+(-2y_i+2)\\ &=d_i+2(x_i-y_i)+5 \end{aligned}\tag{12} di+1=F（xi+2,yi−1.5）=(xi+2)2+(yi−1.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3+(−2yi+2)=di+2(xi−yi)+5(12)

2.3.2 中点误差项的初始值

以xxx为主位移方向。因此，第一个中点坐标是(1,R−0.5)(1,R-0.5)(1,R−0.5)，相应的did_idi的初始值为：
d0=F(1,R−0.5)=1+(R−0.5)2−R2=1.25−R(13)\begin{aligned} d_0&=F(1,R-0.5)=1+(R-0.5)^2-R^2=1.25-R \end{aligned}\tag{13} d0=F(1,R−0.5)=1+(R−0.5)2−R2=1.25−R(13)

2.4 算法流程图

Created with Raphaël 2.3.0开始x<=y输入x,ySetPixel()di>=0di = di + 2 * (x - y) + 5y = y - 1x += 1输出x,ydi = di + 2 * x + 3y = y;结束yesnoyesno

2.5 代码

void CMFCApplication1View::BreCircle(int x0, int y0, int R, CDC* pDC)
{// TODO: 在此处添加实现代码.int x = x0;int y = R;float di = 1.25 - R;while (x <= y) {CirclePoint(pDC, x, y);pDC->SetPixel(x, y, RGB(30, 30, 30));if (di <= 0) {di = di + 2 * x + 3;x += 1;}else {di = di + 2 * (x - y) + 5;x += 1;y -= 1;}}
}

3 Bresenham椭圆

3.1 起始条件

长半轴a
短半轴b

椭圆画出14\frac{1}{4}41的圆弧的就行了，其他三个圆弧可以通过对称得到。但是第一个圆弧的主位移方向会发生变化，需要分情况讨论。我们通过法矢量的两个分量进行讨论。

椭圆上任意一点的处的法矢量：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \symbfit at position 80: …tial{y}}j=2b^2x\̲s̲y̲m̲b̲f̲i̲t̲{i}+2a^2y\symbf…
确定主位移方向：
{X轴,2b2x≥2a2yY轴,2b2x＜2a2y(15)\begin{cases} X轴,& 2b^2x≥2a^2y\\ Y轴,& 2b^2x＜2a^2y\tag{15} \end{cases} {X轴,Y轴,2b2x≥2a2y2b2x＜2a2y(15)

3.2 构造中点误差项及递推式☆

3.2.1 上半部分的中点误差项初始值

上半部分椭圆弧的起点坐标为A(0,b)A(0,b)A(0,b)，因此，第一个中点坐标为(1,b−0.5)(1,b-0.5)(1,b−0.5)，对应的d1id_1id1i的初始值为：
d1i=F(1,b−0.5)=b2+a2(−b+0.25)(16)d_1i=F(1,b-0.5)=b^2+a^2(-b+0.25)\tag{16} d1i=F(1,b−0.5)=b2+a2(−b+0.25)(16)

3.2.2 上半部分中点误差项递推式

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \textless at position 100: …(2x_i+3)&d_{1i}\̲t̲e̲x̲t̲l̲e̲s̲s̲0\tag{17} \end{…

yi+1={yi,di<0yi−1,di⩾0(18)y_{i+1}= \begin{cases} y_{i},& d_i<0\\\tag{18} y_i-1,& d_i\geqslant0 \end{cases} yi+1={yi,yi−1,di<0di⩾0(18)

3.2.1 下半部分的中点误差项初始值

d2i=F(xM,yM)=b2(xi+0.5)2+a2(yi−1)2−a2b2(19)d_{2i}=F(x_{_M},y_{_M})=b^2(x_i+0.5)^2+a^2(y_i-1)^2-a^2b^2\tag{19} d2i=F(xM,yM)=b2(xi+0.5)2+a2(yi−1)2−a2b2(19)

3.2.2 下半部分中点误差项递推式

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \textless at position 101: …-2y_i+3)&d_{2i}\̲t̲e̲x̲t̲l̲e̲s̲s̲0\tag{20} \end{…

yi+1={yi,di<0yi−1,di⩾0(21)y_{i+1}= \begin{cases} y_{i},& d_i<0\\\tag{21} y_i-1,& d_i\geqslant0 \end{cases} yi+1={yi,yi−1,di<0di⩾0(21)

3.3 算法流程图

#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 {font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edge-thickness-normal{stroke-width:2px;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .label text,#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node rect,#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node circle,#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node ellipse,#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node polygon,#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node .label{text-align:center;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:#e8e8e8;fill:#e8e8e8;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-To7eqZLDpyrnKYe3 :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;}

yes

开始

输入

dy >= dx?

di1<0?

计算下一个di

y=y

x=x+1

计算以一个di

y=y-1

计算dx,dy

描点

y>=0?

di2<0?

计算下一个di

x=x+1

y=y-1

计算下一个di

x=x

描点

结束

3.4 代码

void CMFCApplication1View::BreEllipse(CDC* pDC,int a,int b) {int x0 = 0;int y0 = b;float di1 = b * b + a * a * (-b + 0.25);int x = x0;int y = y0;int dx = 2 * b * b * x;int dy = 2 * a * a * y;while (dy>=dx){if (di1 < 0) {di1 = di1 + b * b * (2 * x + 3);x = x + 1;y = y;}else {di1 = di1 + b * b * (2 * x + 3) + a * a * (2 - 2 * y);x = x + 1;y = y - 1;}dx = 2 * b * b * x;dy = 2 * a * a * y;EllipsePoint(pDC, x, y);}float di2 = b * b * (x + 0.5) * (x + 0.5) + a * a * (y - 1) * (y - 1) - a * a * b * b;while (y>=0) {if (di2 < 0) {di2 = di2 + b * b * (2 * x + 2) + a * a * (3 - 2 * y);x = x + 1;y = y - 1;}else{di2 = di2 + a * a * (3 - 2 * y);x = x;y = y - 1;}EllipsePoint(pDC, x, y);}
}

4 Wu反走样算法

4.1 原理

对上下的两个点同时绘制，根据距离设置不同亮度
Pu亮度Pd亮度=DistancePuFiDistancePdFi\frac{P_u亮度}{P_d亮度}=\frac{Distance_{_{P_uF_i}}}{Distance_{_{P_dF_i}}} Pd亮度Pu亮度=DistancePdFiDistancePuFi

4.2 算法流程图

Created with Raphaël 2.3.0开始i<x2delte<=0.5y=y上点SetPixel()下点SetPixel()deltae=deltae+kdeltae>1deltae=deltae-1y=y+1上点SetPixel()下点SetPixel()结束yesnoyesnoyesno

4.3 代码

void CMFCApplication1View::WuLine(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2) {float k = (y2 - y1) * 1.0 / (x2 - x1);float deltae = k;int y = y1;pDC->SetPixel(x1, y1, RGB(0, 0, 0));for (int i = x1+1;i <= x2-1;i++) {if (deltae <= 0.5) {y = y;pDC->SetPixel(i, y, RGB(deltae * 255, deltae * 255, deltae * 255));pDC->SetPixel(i, y+1, RGB((1-deltae) * 255, (1 - deltae) * 255, (1 - deltae) * 255));}else {y = y + 1;pDC->SetPixel(i, y, RGB((1 - deltae) * 255, (1 - deltae) * 255, (1 - deltae) * 255));pDC->SetPixel(i, y - 1, RGB(deltae * 255, deltae * 255, deltae * 255));}deltae = deltae + k;if (deltae > 1) {deltae -= 1;}}pDC->SetPixel(x2, y2, RGB(0, 0, 0));}

5 重建坐标系

//将坐标系移到中点
CRect rect;
GetClientRect(rect);
pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);
pDC->SetWindowExt(rect.Width(), rect.Height());
pDC->SetViewportExt(rect.Width(), -rect.Height());
pDC->OffsetViewportOrg(rect.Width() / 2, rect.Height() / 2);

GetClientRect(rect);//获取指定窗口的客户区域大小

pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//设备视图和逻辑视图可以任意改变

pDC->SetWindowExt(rect.Width(), rect.Height());//逻辑范围

pDC->SetViewportExt(rect.Width(), -rect.Height());//设备范围,以及Y轴方向

pDC->OffsetViewportOrg(rect.Width() / 2, rect.Height() / 2);//视图中心偏移

//以物理设置坐标原点为基础（显示作用），以逻辑为单位（逻辑用于按比例设置单位）

5.1 参考资料

SetWindowExt和SetViewportExt

SetWindowOrg,SetViewportOrg,SetWindowExt,SetViewportExt

SetWindowExt和SetViewportExt

逻辑坐标，设备坐标，窗口，视口

关于映射方式MM_ANISOTROPIC的几个函数详解

GetClientRect用法

SetWindowExt() 与SetViewportExt()

mfc编程中SetViewportOrg与SetWindowOrg的理解

逻辑坐标与设备坐标——全窗口坐标、屏幕坐标、客户区坐标的总结

6 如何在MFC中添加自定义函数

方法一

在类视图中，选择view，然后添加函数
方法二

在view.h的头文件添加声明

在view.cpp文件中添加函数体定义和调用

的几个函数详解](https://blog.csdn.net/zhandeen/article/details/8223747)

GetClientRect用法

SetWindowExt() 与SetViewportExt()

mfc编程中SetViewportOrg与SetWindowOrg的理解

逻辑坐标与设备坐标——全窗口坐标、屏幕坐标、客户区坐标的总结

6 如何在MFC中添加自定义函数

方法一

在类视图中，选择view，然后添加函数
方法二

在view.h的头文件添加声明

在view.cpp文件中添加函数体定义和调用

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图形学Bresenham

1 Bresenham直线

1.1 起始条件

1.2 构造中点误差项

1.3 递推公式☆

1.3.1 中点误差项的递推公式

1.3.2 中点误差项的初始值

1.4 算法流程图

1.5 代码

1.6

2 Bresenham圆

2.1 起始条件

2.2 构造中点误差项

2.3 递推公式☆

2.3.1 中点误差项的递推公式

2.3.2 中点误差项的初始值

2.4 算法流程图

2.5 代码

3 Bresenham椭圆

3.1 起始条件

3.2 构造中点误差项及递推式☆

3.2.1 上半部分的中点误差项初始值

3.2.2 上半部分中点误差项递推式

3.2.1 下半部分的中点误差项初始值

3.2.2 下半部分中点误差项递推式

3.3 算法流程图

3.4 代码

4 Wu反走样算法

4.1 原理

4.2 算法流程图

4.3 代码

5 重建坐标系

5.1 参考资料

6 如何在MFC中添加自定义函数

6 如何在MFC中添加自定义函数

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