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一、计算机图形学第二章作业

1、题目描述

第二章作业

1. 编程实现DDA、中点画线和Bresenham算法，对比它们的效率。

2. 编程实现中点画圆法。(重点关注算法原理和伪代码)

2、题目一

2.1关于DDA的实现

2.1.1算法原理

原理：根据直线的参数微分方程计有dy=m*dx

Step1：首先将给定端点作为了输入参数；

Step2：其次初始化，初值加上0.5保证精度；

Step3：比较起止点的水平以及垂直的差值较大的大数作为计算步数steps；

Step4：然后每步计算dx，dy分别为差数并除以steps；

Step5：最后，从起始点开始来确定相邻两点间的增量并且进行递推计算。

2.1.2算法实现

具体代码如下：

#include <Windows.h>
#include <GL/glut.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <cmath>void DDAline()
{int x1=101,y1=101,x2=499,y2=499;int steps;float m, x, y, dx, dy;x = x1 + 0.5f;y = y1 + 0.5f;steps = abs(x2 - x1) > abs(y2 - y1) ? abs(x2 - x1) : abs(y2 - y1);dx = (float)(x2 - x1) / steps;dy = (float)(y2 - y1) / steps;//计算直线斜率和截距m = (float)(y2 - y1) / (float)(x2 - x1);float b = y2 - m * x2;glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(1.0f);glBegin(GL_POINTS);for (int i = 0; i < steps; i++) {glVertex2f((x + 400 / 2)/400.0-1.6, (400 / 2 - y)/400.0+0.5);x=x+dx;y=y+dy;}glEnd();glFlush();
}int main(int argc, char * argv[])
{glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE);glutInitWindowPosition(100, 100);glutInitWindowSize(400, 400);glutCreateWindow("DrawLineByDDA");glutDisplayFunc(&DDAline);glutMainLoop();return 0;
}

2.1.3结果展示

2.2中点画线

2.2.1算法原理

原理：构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0 y 1-x1 y 0

当d<0，M 在L(Q点 )下方，取右上方P 2为下一个象素

当d>0，M 在L(Q点 )上方，取右下方P 1为下一个象素

当d=0，选P 1 或 P 2均可，约定取P 1为下一个象素

Step1：画线从(x0, y0 )开始，d的初值 d 0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b =a+0.5b。 a=y0-y1, b=x1-x0

可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。

Step2：令 d 0=2a+b, d1=2a, d2=2a+2b,我们有如下算法。

Step3：若当前象素处于d ³ 0情况，则取正右方象素P1 (xp+1, yp), 要判下一个象素位置，应计算 d 1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a；增量为a

• 若d<0时，则取右上方象素P 2 (xp+1, yp+1)。要判断再下一象素，则要计算 d 2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ；增量为a＋b

Step4：画出对应的点

2.2.2算法实现

具体代码如下：

#include <Windows.h>
#include <GL/glut.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <cmath>float X[65536], Y[65536];
int cnt = 0;void MidPointline(int x1, int y1, int x2, int y2)
{int a, b, d1, d2, d, x, y;a = y1 - y2;b = x2 - x1;d = 2 * a + b;d1 = 2 * a;d2 = 2 * (a + b);x = x1; y = y1;X[0] = x;Y[0] = y;cnt++;while (x < x2){if (d < 0){x++;y++;d += d2;}else{x++;d += d1;}X[cnt] = x;Y[cnt] = y;cnt++;}
}void midPoints()
{glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(1.0f);glBegin(GL_POINTS);for (int i = 0; i < cnt; i++) {glVertex2f((X[i] + 400 / 2) / 400.0 - 1.6, (400 / 2 - Y[i]) / 400.0 + 0.5);}glEnd();glFlush();
}int main(int argc, char* argv[])
{MidPointline(101, 101, 499, 499);glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE);glutInitWindowPosition(100, 100);glutInitWindowSize(400, 400);glutCreateWindow("DrawLineBymidPoints");glutDisplayFunc(&midPoints);glutMainLoop();return 0;
}

2.2.3结果展示

2.3实现Bresenham算法

2.3.1算法原理

原理如下：

Step1：设定interChange、Xsign、Ysign便于判断位置并计算误差初值e = 2 * min - max;（min和max分别为水平距离和垂直距离的最值）

Step2：设置点(Xi, Yi) 的颜色值，并求下一误差ei+1；

If ei >= 0 then ei+1 =ei+m-1；

else ei+1 = ei + m；

Step3：根据不同象限，确定X和Y变化符号的正负，进行下一次（2）（3）循环直至结束；

2.3.2算法实现

#include <Windows.h>
#include <GL/glut.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <cmath>void B()
{int x1 = 101, y1 = 101, x2 = 499, y2 = 499;int x, y, dx, dy, e, xSign, ySign, interChange = 0;dx = abs(x2 - x1);dy = abs(y2 - y1);float m = (float)(y2 - y1) / (float)(x2 - x1);float b = y2 - m * x2;if (dx < dy) {int temp;interChange = 1;temp = dx;dx = dy;dy = temp;}xSign = (x2 > x1) ? 1 : -1;ySign = (y2 > y1) ? 1 : -1;x = x1;y = y1;e = 2 * dy - dx;glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(1.0f);glBegin(GL_POINTS);for (int i = 0; i <= dx; i++) {glVertex2f((x + 400.0 / 2) / 400.0 - 1.6, (400.0 / 2 - y) / 400.0 + 0.5);if (e > 0) {e = e - 2 * dx;if (interChange)x += xSign;elsey += ySign;}if (interChange)y += ySign;elsex += xSign;e = e + 2 * dy;}glEnd();glFlush();
}int main(int argc, char* argv[])
{glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE);glutInitWindowPosition(100, 100);glutInitWindowSize(400, 400);glutCreateWindow("DrawLineByBresenham");glutDisplayFunc(&B);glutMainLoop();return 0;
}

2.3.3结果展示

2.4三种方法效率的比较

DDA算法:

复杂度：加法+取整

优点：避免了y=kx+b 方程中的浮点乘法。

缺点：需浮点数加法及取整运算，不利于硬件实现。

中点算法:

中点算法与DDA相比，主要是加法运算和浮点数运算，但是优化后，省去了浮点运算。

主要优点：算法简单，无乘除，只有移位操作，尤其适用硬件实现

Bresenham算法：

Bresenham算法是计算机图形学使用最广泛的直线光栅化算法。Bresenham算法是每个象素只需一个整数加法，其优点还有就是可以用于其他二次曲线。

3、题目二

3.1算法原理

中点画圆法利用的也是类似于Bresenham直线算法的思想，利用判别式选择像素，只需做简单的整数运算。

在平面直角坐标系的四个象限中第二象限的1/8圆为例，若确定了一个像素点为($x_{p},y_{p}$)，那么下一个点要么是右方的P1，要么是右下方的P2。

构造函数一个函数F(x,y)=$x^{2}$+$y^{2}$-$R^{2}$，当F大于0时，点在圆外，反之则在圆内。

图中的M是P1和P2的中点，所以M=($x_{p}$+1,$y_{p}-0.5$)，当F(M)<0时，M在圆内，说明P1离圆弧更近，反之M在圆外，P2更近。

根据以上原理，可构造判别式：

当$d_{p}$<0时，取P1为下一像素，下一像素判别式为：

当$d_{p}$>0时，取P2为下一像素，下一像素判别式为：

我们按顺时针方式生成八分圆，所以第一个像素为(0,R)，初始判别式为：

1.25-R可以简化成1-R，去除浮点数运算，因为运算过程中增量都为整数，所以减去0.25是不会影响符号的。

3.2算法实现

#include <Windows.h>
#include <GL/glut.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <cmath>float X[65536], Y[65536];
const float R = 400.0;
int cnt = 0;void CirclePoints(int x, int y, int offx, int offy)//利用对称性画整圆
{X[cnt] = (x + offx) / R; Y[cnt] = (y + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (y + offx) / R; Y[cnt] = (x + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (x + offx) / R; Y[cnt] = (-y + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (-y + offx) / R; Y[cnt] = (x + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (-x + offx) / R; Y[cnt] = (y + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (y + offx) / R; Y[cnt] = (-x + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (-x + offx) / R; Y[cnt] = (-y + offy) / R;cnt++;X[cnt] = (-y + offx) / R; Y[cnt] = (-x + offy) / R;cnt++;
}void MidPointCircle(int x1, int y1, int r)
{int x, y, e;x = 0; y = r; e = 1 - r;CirclePoints(x, y, x1, y1);while (x <= y){if (e < 0)e += 2 * x + 3;else{e += 2 * (x - y) + 5;y--;}x++;CirclePoints(x, y, x1, y1);}
}void B()
{glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(1.0f);glBegin(GL_POINTS);for(int i=0;i<cnt;i++)glVertex2f(X[i],Y[i]);glEnd();glFlush();
}int main(int argc, char* argv[])
{MidPointCircle(0, 0, 380);glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE);glutInitWindowPosition(100, 100);glutInitWindowSize(400, 400);glutCreateWindow("DrawMidPointCircle");glutDisplayFunc(&B);glutMainLoop();return 0;
}

3.3结果展示

二、参考资料

[1]萌新向！！！Windows10 + Visual Studio 2019 搭建OpenGL环境（图文教程） - 哔哩哔哩 (bilibili.com)

[2]三种直线段绘制方法：DDA算法、B算法和中点分割法_独苍的博客-CSDN博客

[3]图形学入门(2)——圆生成算法（中点画圆法） - 走看看 (zoukankan.com)

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