PID算法的数字离散化

PID算法的数字化

PID算法的表达式：
P(t)=Kp[e(t)+1TI∫e(t)dt+TDde(t)dt](1)P(t)=K_p[e(t)+\frac{1}{T_I}\int{e(t)dt}+T_D\frac{de(t)}{dt}]\tag{1} P(t)=Kp[e(t)+TI1∫e(t)dt+TDdtde(t)](1)
P(t)P(t)P(t)为调节器的输出信号；e(t)e(t)e(t)为调节器的偏差信号，它等于给定值与测量值之差；KPK_PKP为调节器的比例系数；TIT_ITI为调节器的积分时间；TDT_DTD为调节器的微分时间。

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差来计算控制量。所以必须对上述公式进行离散化：
∫1ne(t)dt=∑j=0nE(j)Δt=T∑j=0nE(j)(2)\int_1^n{e(t)dt}=\sum_{j=0}^{n}{E(j)\Delta{t}}=T\sum_{j=0}^{n}{E(j)}\tag{2} ∫1ne(t)dt=j=0∑nE(j)Δt=Tj=0∑nE(j)(2)

de(t)dt≈E(k)−E(k−1)Δt=E(k)−E(k−1)T(3)\frac{de(t)}{dt}\approx\frac{E(k)-E(k-1)}{\Delta{t}}=\frac{E(k)-E(k-1)}{T}\tag{3} dtde(t)≈ΔtE(k)−E(k−1)=TE(k)−E(k−1)(3)

将（2）和（3）代入（1）中得到：
P(k)=Kp{E(k)+TTI∑j=0kE(j)+TDT[E(k)−E(k−1)]}P(k)=K_p\{E(k)+\frac{T}{T_I}\sum_{j=0}^{k}{E(j)}+\frac{T_D}{T}[E(k)-E(k-1)]\} P(k)=Kp{E(k)+TITj=0∑kE(j)+TTD[E(k)−E(k−1)]}
式中，T=ΔtT=\Delta{t}T=Δt为采样周期，必须使TTT足够小，才能保证系统有一定的精度。

一、位置型PID

在位置控制算式中，不仅需要对E(j)E(j)E(j)进行累加，而且计算机的任何故障都会引起P(k)P(k)P(k)大幅度变化。

第k次采样时PID的输出表达式：
P(k)=KpE(k)+KI∑j=0kE(j)+KD[E(k)−E(k−1)](4)P(k)=K_pE(k)+K_I\sum_{j=0}^{k}{E(j)}+K_D[E(k)-E(k-1)]\tag{4} P(k)=KpE(k)+KIj=0∑kE(j)+KD[E(k)−E(k−1)](4)
为程序设计时更加方便，设比例输出：
PP(k)=KPE(k)(5)P_P(k)=K_PE(k)\tag{5} PP(k)=KPE(k)(5)
积分项输出：
PI(k)=KI∑j=0kE(j)=KIE(k)+PI(k−1)(6)P_I(k)=K_I\sum_{j=0}^{k}{E(j)}=K_IE(k)+P_I(k-1)\tag{6} PI(k)=KIj=0∑kE(j)=KIE(k)+PI(k−1)(6)
微分项输出：
PD(k)=KD[E(k)−E(k−1)](7)P_D(k)=K_D[E(k)-E(k-1)]\tag{7} PD(k)=KD[E(k)−E(k−1)](7)
简写得到离散化的位置型PID编程公式：
P(k)=PP(k)+PI(k)+PD(k)(8)P(k)=P_P(k)+P_I(k)+P_D(k)\tag{8} P(k)=PP(k)+PI(k)+PD(k)(8)

二、增量型PID

增量型PID优点：1、由于计算机输出的是增量，所以误动作影响小，必要时可用逻辑判断的方法去掉；2、不产生积分失控。劣势：1、积分截断效应大，有静态误差；2、溢出的影响大。

增量型PID公式为：
ΔP(k)=Kp[E(k)−E(k−1)]+KIE(k)+KD[E(k)−2E(k−1)+E(k−2)](9)\Delta{P(k)}=K_p[E(k)-E(k-1)]+K_IE(k)+K_D[E(k)-2E(k-1)+E(k-2)]\tag{9} ΔP(k)=Kp[E(k)−E(k−1)]+KIE(k)+KD[E(k)−2E(k−1)+E(k−2)](9)
比例项：
ΔPP(k)=KP[E(k)−E(k−1)](10)\Delta{P_P(k)}=K_P[E(k)-E(k-1)]\tag{10} ΔPP(k)=KP[E(k)−E(k−1)](10)
积分项：
ΔPI(k)=KIE(k)(11)\Delta{P_I(k)}=K_IE(k)\tag{11} ΔPI(k)=KIE(k)(11)
微分项：
ΔPD(k)=KD[E(k)−2E(k−1)+E(k−2)](12)\Delta{P_D(k)}=K_D[E(k)-2E(k-1)+E(k-2)]\tag{12} ΔPD(k)=KD[E(k)−2E(k−1)+E(k−2)](12)
简写得到增量型PID公式：
ΔP(k)=ΔPP(k)+ΔPI(k)+ΔPD(k)(13)\Delta{P(k)}=\Delta{P_P(k)}+\Delta{P_I(k)}+\Delta{P_D(k)}\tag{13} ΔP(k)=ΔPP(k)+ΔPI(k)+ΔPD(k)(13)