PID算法的基础知识

PID的含义

控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统，PID是一个闭环控制算法。因此要实现PID算法，必须在硬件上具有闭环控制，就是得有反馈。比如控制一个电机的转速，就得有一个测量转速的传感器，并将结果反馈到控制路线上。
PID三个部分分别为：

P：比例环节；
I：积分环节；
D：微分环节；

所以PID是比例（P）、积分（I）、微分（D）控制算法。但并不是必须同时具备这三种算法，也可以是PD，PI，甚至只有P算法控制。
我以前对于闭环控制的一个最朴素的想法就只有P控制，将当前结果反馈回来，再与目标相减，为正的话，就减速，为负的话就加速。现在知道这只是最简单的闭环控制算法。

PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正，因此被广泛地应用于工业控制系统。(而且在工业控制系统中，常常是PID算法一招吃遍天下)

开环控制

首先来看开环控制系统，如下图所示，小人蒙着眼，需要走到虚线旗帜所表示的目标位置，由于缺少反馈（眼睛可以感知当前距离和位置，由于眼睛被蒙上没有反馈，所以这也是一个开环系统），最终小人会较大概率偏离预期的目标，可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。

开环系统的整体结构如下所示；

Input：告诉小人目标距离的直线位置（10米）；
Controller：小人大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；

看来没有反馈的存在，很难准确到达目标位置。

闭环控制

所以为了准确到达目标位置，这里就需要引入反馈，具体如下图所示；

在这里继续举个不怎么恰当的比喻；小人重获光明之后，基本可以看到目标位置了；

第一步 Input：告诉小人目标距离的直线位置（10米）；
第二步 Controller：小人大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
第三步 Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
第四步 Feedback：通过视觉获取到目前已经前进的距离，（比如前进了2米，那么还有8米的偏差）；
第五步 err：根据偏差重新计算所需要的步数，然后重复上述四个步骤，最终小人达到最终的目标位置。

PID系统架构

虽然在反馈系统下，小人最终到达目标位置，但是现在又来了新的任务，就是又快又准地到达目标位置。所以这里小人开始采用PID Controller，只要适当调整P，I和D的参数，就可以到达目标位置，具体如下图所示；

小人为了最短时间内到达目标位置，进行了不断的尝试，分别出现了以下几种情况：

跑得太快，最终导致冲过了目标位置还得往回跑；
跑得太慢，最终导致到达目标位置所用时间太长；

经过不断的尝试，终于找到了最佳的方式，其过程大概如下图所示；

这里依然举一个不是很恰当的比喻；

第一步：得到与目标位置的距离偏差（比如最开始是 10米，后面会逐渐变小）；
第二步：根据误差，预估需要多少速度，如何估算呢，看下面几步；

P（比例）

比例控制规律P：采用P控制规律能较快地克服扰动的影响，它的优点在于输出值较快，但不能很好稳定在一个理想的数值，不良的结果是虽较能有效的克服扰动的影响，但有余差出现。它适用于控制通道滞后较小、负荷变化不大、控制要求不高、被控参数允许在一定范围内有余差的场合。如：金彪公用工程部下设的水泵房冷、热水池水位控制；油泵房中间油罐油位控制等。
P比例则是给定一个速度的大致范围，满足下面这个公式：

K_p——比例系数
e(t)——偏差

说明其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差(Steady-state error)。
比例作用相当于某一时刻的偏差（err）与比例系数K_p的乘积，具体如下所示

绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化；红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化，两者为互补的关系；

I（积分）

I（积分）则是误差在一定时间内的和，满足以下公式；

K_i——积分系数
e(t)——偏差

在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。
对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统(System with Steady-state Error)。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入"积分项"。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到接近于零。因此，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后几乎无稳态误差。
如下图所示：

红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果，其不断累积的误差，最终乘以积分系数K_i就得到了积分部分的输出；

D（微分）

微分是误差变化曲线某处的导数，或者说是某一点的斜率。所以在微分控制中，控制器的**输出与输入误差信号的微分(即误差的变化率)**成正比关系。

K_d——微分系数
e(t)——偏差

自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件(环节)或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化"超前"，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入 “比例"项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而需要增加的是"微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。

从图中可知，当偏差变化过快，微分环节会输出较大的负数，作为抑制输出继续上升，从而抑制过冲。

比例、积分好微分的比较

比例，反应系统的基本（当前）偏差e(t)，系数大，可以加快调节，减小误差，但过大的比例使系统稳定性下降，甚至造成系统不稳定；
积分，反应系统的累计偏差，使系统消除稳态误差，提高无差度，因为有误差，积分调节就进行，直至无误差；
微分，反映系统偏差信号的变化率e(t)-e(t-1)，具有预见性，能预见偏差变化的趋势，产生超前的控制作用，在偏差还没有形成之前，已被微分调节作用消除，因此可以改善系统的动态性能。但是微分对噪声干扰有放大作用，加强微分对系统抗干扰不利。
积分和微分都不能单独起作用，必须与比例控制配合。
比例积分控制规律(PI)：在工程中比例积分控制规律是应用最广泛的一种控制规律。积分能在比例的基础上消除余差，它适用于控制通道滞后较小、负荷变化不大、被控参数不允许有余差的场合。如：在主线窑头重油换向室中F1401到F1419号枪的重油流量控制系统；油泵房供油管流量控制系统；退火窑各区温度调节系统等。
比例微分控制规律(PD)：微分具有超前作用，对于具有容量滞后的控制通道，引入微分参与控制，在微分项设置得当的情况下，对于提高系统的动态性能指标，有着显著效果。因此，对于控制通道的时间常数或容量滞后较大的场合，为了提高系统的稳定性，减小动态偏差等可选用比例微分控制规律。如：加热型温度控制、成分控制。需要说明一点，对于那些纯滞后较大的区域里，微分项是无能为力，而在测量信号有噪声或周期性振动的系统，则也不宜采用微分控制。如：大窑玻璃液位的控制。
比例积分微分控制规律(PID)：PID控制规律是一种较理想的控制规律，它在比例的基础上引入积分，可以消除余差，再加入微分作用，又能提高系统的稳定性。它适用于控制通道时间常数或容量滞后较大、控制要求较高的场合。如温度控制、成分控制等。

鉴于D规律的作用，我们还必须了解时间滞后的概念，时间滞后包括容量滞后与纯滞后。
其中容量滞后通常又包括：测量滞后和传送滞后。测量滞后是检测元件在检测时需要建立一种平衡，如热电偶、热电阻、压力等响应较慢产生的一种滞后。而传送滞后则是在传感器、变送器、执行机构等设备产生的一种控制滞后。
纯滞后是相对与测量滞后的，在工业上，大多的纯滞后是由于物料传输所致，如：大窑玻璃液位，在投料机动作到核子液位仪检测需要很长的一段时间。

比例系数K_p、积分系数K_i、微分系数K_d对系统的影响

综上，K_p、K_i、K_d，分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示。

理论基础

上面扯了这么多，无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用，下面开始推导一下算法实现的具体过程；PID控制器的系统框图如下所示；

因此不难得出输入e（t）和输出u（t）的关系：

K_p是比例增益； K_i是积分增益； K_d是微分增益。

离散化

PID算法-增量(详细)
在数字系统中进行PID算法控制，需要对上述算法进行离散化；假设系统采样时间为△t 则将输入e（t）序列化得到：

将输出u（t）序列化得到：

比例项：

积分项：

微分项：

所以最终可以得到下式，记为（1），也就是网上所说的位置式PID：

u(k)为实际输出，位置式 PID 需每次计算 u(k) 的实际值，并将 0时刻到 k时刻的所有状态值存储。可见，实现该式内存占用庞大，当计算机出现故障时会引起控制量的大幅度震动，从而可能带来不必要的损失。
将式（1）再做一下简化：

最终得到增量式PID的离散公式如下：

△u(k)为相邻两次采样间隔内控制量的差，这样，从前一时刻开始，当前的控制量就只与e(k -1) 、e(k -2)和e(k)有关。在计算机上实现控制时，也仅需将上述三个数据存储，便可得出控制器输出值。与此同时，其不会累积偏差，避免引起积分饱和。因此，增量式在实际情况中应用较为广泛。

PID算法流程

K_p，K_i，K_d三个参数的设定是PID控制算法的关键问题。一般说来编程时只能设定他们的大概数值，并在系统运行时通过反复调试来确定最佳值。因此调试阶段程序须得能随时修改和记忆这三个参数。
参数的自整定：在某些应用场合，比如通用仪表行业，系统的工作对象是不确定的，不同的对象就得采用不同的参数值，没法为用户设定参数，就引入参数自整定的概念。实质就是在首次使用时，通过N次测量为新的工作对象寻找一套参数，并记忆下来作为以后工作的依据。

总之，控制规律的选用要根据过程特性和工艺要求来选取，决不是说PID控制规律在任何情况下都具有较好的控制性能，不分场合都采用是不明智的。如果这样做，只会给其它工作增加复杂性，并给参数整定带来困难。当采用PID控制器还达不到工艺要求，则需要考虑其它的控制方案。如串级控制、前馈控制、大滞后控制等。