【概率论基础进阶】随机变量及其分布-随机变量及其分布函数

文章目录

一、分布律
- 分布律性质
二、分布函数
- 分布函数的性质
三、概率密度
- 概率密度的性质

一、分布律

定义：在样本空间 Ω \Omega Ω上的实值函数 X = X ( ω ) X=X(\omega) X=X(ω)，称 X ( ω ) , ω ∈ Ω X(\omega),\omega \in \Omega X(ω),ω∈Ω，称 X ( ω ) X(\omega) X(ω)为随机变量，简记 X X X
注： X ( ω ) X(\omega) X(ω)的定义域是 Ω \Omega Ω，常用 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z等表示随机变量

定义：如果一个随机变量的可能取值是有限多个或可数无穷多个，则称它为离散型随机变量

定义：设离散型随机变量 X X X的可能取值是 x 1 , x 2 , ⋯ , x n , ⋯ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots x1,x2,⋯,xn,⋯， X X X取各可能值的概率为
P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots P{X=xk}=pk,k=1,2,⋯
称上式为离散型随机变量 X X X的概率分布或分布律
分布律也有用列表方式给出的

X X X	x 1 x_{1} x1	x 2 x_{2} x2	x 3 x_{3} x3	⋯ \cdots ⋯	x n x_{n} xn	⋯ \cdots ⋯
P P P	p 1 p_{1} p1	p 2 p_{2} p2	p 3 p_{3} p3	⋯ \cdots ⋯	p n p_{n} pn	⋯ \cdots ⋯

或者
X ∼ [ x 1 x 2 ⋯ x n ⋯ p 1 p 2 ⋯ p n ⋯ ] X \sim \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} & \cdots \\ p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n} & \cdots \end{bmatrix} X∼[x1p1x2p2⋯⋯xnpn⋯⋯]
这里只给出 X X X可能取值可数无穷多个的情形。不难给出 X X X有限个可能取值的情形

严格来说， P ( A ) P(A) P(A)即用 ( ) () ()括起来的应该是事件， P { X = x k } P \left\{X=x_{k}\right\} P{X=xk}即用 { } \left\{\right\} {}括起来的应该是随机变量

分布律性质

p k ≥ 0 , k = 1 , 2 , ⋯ p_{k}\geq 0,k=1,2,\cdots pk≥0,k=1,2,⋯
∑ k = 1 ∞ p k = 1 \sum\limits_{k=1 }^{\infty}p_{k}=1 k=1∑∞pk=1

二、分布函数

定义：设 X X X是一个随机变量，对于任意实数 x x x，记函数
F ( x ) = P { X ≤ x } , − ∞ < x < + ∞ F(x)=P \left\{X \leq x\right\},-\infty <x < +\infty F(x)=P{X≤x},−∞<x<+∞
称 F ( x ) F(x) F(x)为随机变量 X X X的分布函数
分布函数 F ( x ) F(x) F(x)是定义在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上的一个实值函数， F ( x ) F(x) F(x)的值等于随机变量 X X X在区间 ( − ∞ , x ] (-\infty,x] (−∞,x]内取值的概率，即事件 X ≤ x X \leq x X≤x的概率

注意 P { X ≤ x } P \left\{X \leq x\right\} P{X≤x}有等号
注意几个定义 P ( A ) , X ( ω ) , F ( x ) P(A),X(\omega),F(x) P(A),X(ω),F(x)

分布函数的性质

0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0\leq F(x)\leq1 0≤F(x)≤1
F ( x ) F(x) F(x)是单调非减函数，即当 x 1 ≤ x 2 x_{1}\leq x_{2} x1≤x2时， F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) F(x_{1})\leq F(x_{2}) F(x1)≤F(x2)
lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0 x→−∞limF(x)=0，记为 F ( − ∞ ) = 0 F(-\infty)=0 F(−∞)=0； lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1 x→+∞limF(x)=1，记为 F ( + ∞ ) = 1 F(+\infty)=1 F(+∞)=1
F ( x ) F(x) F(x)是右连续的，即 F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x+0)=F(x) F(x+0)=F(x)

上述四条性质是函数 F ( x ) F(x) F(x)成为某一随机变量分布函数的充要条件

做题的时候常先用第三条

对于第四条

用简单的扔硬币试验来辅助说明，把正面朝上赋值为X=0，把反面朝上赋值为X=1，（不考虑硬币立起来）。那么这个试验结果的概率的分布函数为下图：

为什么最左侧红线落在负无穷到零的开区间，因为开区间的含义是无限趋近，P{X≤0}与P{X≤x | x趋向于零但不等于零} 二者在概念上有本质区别。也就是说，因为含义不同，导致计算范围不同，最终导致概率不一样。
当x趋向于零但不等于零时（X<0等价于X≤x时x趋向于零但不等于零），它的概率对于抛硬币试验来说一定是零。但是X≤0，含义和范围就发生了变化，变成了 X<0 或者 X=0，也就是不管是 X<0 还是 X=0 都算作这个事件发生了，行话讲叫和事件，所以概率就是0+0.5=0.5而不是0了。正是分布函数经过跳跃间断点时含义发生变化的特点，导致概率分布函数是右连续的。

作者：阿狸的一百种玩法
链接：为什么概率分布函数是右连续？个人对概率的理解 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)

对任意的 x 1 < x 2 x_{1}<x_{2} x1<x2，有 P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P \left\{x_{1}<X\leq x_{2}\right\}=F(x_{2})-F(x_{1}) P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)
对任意的 x x x， P { X = x } = F ( x ) − F ( x − 0 ) P \left\{X=x\right\}=F(x)-F(x-0) P{X=x}=F(x)−F(x−0)

当 F ( x ) F(x) F(x)在 x x x处时连续时， F ( x ) − F ( x − 0 ) = 0 F(x)-F(x-0)=0 F(x)−F(x−0)=0，根据性质 5. 5. 5.就有 P { X = x } = 0 P \left\{X=x\right\}=0 P{X=x}=0

例1：从 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4中随机取 2 2 2个数，则其中的小者 X X X的分布律为（）

从四个数中取两个有 C 4 2 C_{4}^{2} C42中情况，以选两个数为思考角度，有
P { X = 1 } = C 3 1 ⋅ C 1 1 C 4 2 = 1 2 P { X = 2 } = C 2 1 ⋅ C 1 1 C 4 2 = 1 6 P { X = 3 } = C 1 1 ⋅ C 1 1 C 4 2 = 1 6 \begin{aligned} P \left\{X=1\right\}&=\frac{C_{3}^{1}\cdot C_{1}^{1}}{C_{4}^{2}}=\frac{1}{2}\\ P \left\{X=2\right\}&=\frac{C_{2}^{1}\cdot C_{1}^{1}}{C_{4}^{2}}=\frac{1}{6}\\ P \left\{X=3\right\}&=\frac{C_{1}^{1}\cdot C_{1}^{1}}{C_{4}^{2}}=\frac{1}{6} \end{aligned} P{X=1}P{X=2}P{X=3}=C42C31⋅C11=21=C42C21⋅C11=61=C42C11⋅C11=61
结果为

X X X	1 1 1	2 2 2	3 3 3
P P P	1 2 \frac{1}{2} 21	1 3 \frac{1}{3} 31	1 6 \frac{1}{6} 61

依旧强调之前的，一定要保持分子分母考虑对象相同，例如本题分母任选两个数，分子就是任选两个符合要求的数

例2：设随机变量 X X X的分布函数为 F ( x ) = { a + b 1 + x x ≥ 0 c x < 0 F(x)=\left\{\begin{aligned}&a+ \frac{b}{1+x}&x \geq 0\\ &c&x<0\end{aligned}\right. F(x)=⎩ ⎨ ⎧a+1+xbcx≥0x<0，其中 a , b , c a,b,c a,b,c为常数，则 b b b可能的取值范围为（）

由 F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infty)=0,F(+\infty)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1， c = 0 , a = 1 c=0,a=1 c=0,a=1，有
1 + b 1 + 0 ≥ 0 ⇒ b ≥ − 1 1+ \frac{b}{1+0}\geq 0\Rightarrow b \geq -1 1+1+0b≥0⇒b≥−1
由 F ( x ) F(x) F(x)单调非减， b ≤ 0 b\leq0 b≤0

遇到分布函数性质相关题，一般做题的时候先用第三条，即 F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infty)=0,F(+\infty)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1

例3：设 F 1 ( x ) F_{1}(x) F1(x)与 F 2 ( x ) F_{2}(x) F2(x)分别为随机变量 X 1 X_{1} X1和 X 2 X_{2} X2的分布函数，为使 F ( x ) = a F 1 ( x ) − b F 2 ( x ) F(x)=aF_{1}(x)-bF_{2}(x) F(x)=aF1(x)−bF2(x)也是分布函数，说明 a , b a,b a,b满足的条件

{ F ( − ∞ ) = a F 1 ( − ∞ ) − b F 2 ( − ∞ ) = 0 F ( + ∞ ) = a F 1 ( + ∞ ) − b F 2 ( + ∞ ) = 1 F ( x ) = a F 1 ( x ) − b F 2 ( x ) 单调不减 ⇒ a > 0 , b < 0 \left\{\begin{aligned}&F(-\infty)=aF_{1}(-\infty)-bF_{2}(-\infty)=0\\ &F(+\infty)=aF_{1}(+\infty)-bF_{2}(+\infty)=1\\ &F(x)=aF_{1}(x)-bF_{2}(x)单调不减 \Rightarrow a>0,b<0\end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧F(−∞)=aF1(−∞)−bF2(−∞)=0F(+∞)=aF1(+∞)−bF2(+∞)=1F(x)=aF1(x)−bF2(x)单调不减⇒a>0,b<0
显然右连续，所以不写了。因此 a , b a,b a,b要满足
{ a − b = 1 a > 0 , b < 0 \left\{\begin{aligned}&a-b=1\\ &a>0,b<0\end{aligned}\right. {a−b=1a>0,b<0

三、概率密度

定义：如果对随机变量 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)，存在一个非负可积函数 f ( x ) f(x) f(x)，使得对任意实数 x x x，都有
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , − ∞ < x < + ∞ F(x)=\int^{x}_{-\infty}f(t)dt,-\infty<x<+\infty F(x)=∫−∞xf(t)dt,−∞<x<+∞
称 X X X为连续型随机变量，函数 f ( x ) f(x) f(x)称为 X X X的概率密度

连续型随机变量的 F ( x ) F(x) F(x)必连续，但 f ( x ) f(x) f(x)不一定是连续的

概率密度的性质

f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)≥0
∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1，即 F ( + ∞ ) = 1 F(+\infty)=1 F(+∞)=1

上述条件是函数 f ( x ) f(x) f(x)成为某一连续型随机变量的概率密度充要条件。

类似分布函数，做题的时候常先用第二条

对任意实数 x 1 < x 2 x_{1}<x_{2} x1<x2，有 P { x 1 < X ≤ x 2 } = ∫ x 1 x 2 f ( t ) d t P \left\{x_{1}<X \leq x_{2}\right\}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)dt P{x1<X≤x2}=∫x1x2f(t)dt
在 f ( x ) f(x) f(x)的连续点处有 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)

如果 X X X是连续型随机变量，则显然有
P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { x 1 ≤ X < x 2 } = P { x 1 < X < x 2 } = P { x 1 ≤ X ≤ x 2 } P \left\{x_{1}<X \leq x_{2}\right\}=P \left\{x_{1}\leq X<x_{2}\right\}=P \left\{x_{1}<X<x_{2}\right\}=P \left\{x_{1}\leq X \leq x_{2}\right\} P{x1<X≤x2}=P{x1≤X<x2}=P{x1<X<x2}=P{x1≤X≤x2}

例4：已知 f ( x ) f(x) f(x)为概率密度函数，说明 f ( − x ) f(-x) f(−x)也是概率密度函数， f ( 2 x ) f(2x) f(2x)不是概率密度函数

做题的时候常先用第二条 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1

∫ − ∞ + ∞ f ( − x ) d x = − x = t ∫ + ∞ − ∞ f ( t ) d ( − t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) d t = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(-x)dx \overset{-x=t}{=}\int_{+\infty}^{-\infty}f(t)d(-t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1 ∫−∞+∞f(−x)dx=−x=t∫+∞−∞f(t)d(−t)=∫−∞+∞f(t)dt=1
又有 f ( − x ) ≥ 0 f(-x)\geq 0 f(−x)≥0，因此 f ( − x ) f(-x) f(−x)是概率密度函数
∫ − ∞ + ∞ f ( 2 x ) d x = 2 x = t ∫ + ∞ − ∞ f ( t ) d t 2 = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) d t = 1 2 \int_{-\infty}^{+\infty}f(2x)dx \overset{2x=t}{=}\int_{+\infty}^{-\infty}f(t)d \frac{t}{2}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=\frac{1}{2} ∫−∞+∞f(2x)dx=2x=t∫+∞−∞f(t)d2t=21∫−∞+∞f(t)dt=21
显然 f ( 2 x ) f(2x) f(2x)不是概率密度函数

注意此处，如果
∫ − ∞ + ∞ f ( − x ) d x = − ∫ − ∞ + ∞ f ( − x ) d ( − x ) ≠ − F ( x ) \int_{-\infty}^{+\infty}f(-x)dx=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(-x)d(-x)\ne -F(x) ∫−∞+∞f(−x)dx=−∫−∞+∞f(−x)d(−x)=−F(x)
里面的字母不同，不定积分结果相同，但定积分结果不同，应该是
∫ − ∞ + ∞ f ( − x ) d x = − ∫ − ∞ + ∞ f ( − x ) d ( − x ) = − F ( − x ) ∣ − ∞ + ∞ = − ( F ( − ∞ ) − F ( + ∞ ) ) = − ( 0 − 1 ) = 1 \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(-x)dx&=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(-x)d(-x)\\&=-F(-x)\Big|_{-\infty}^{+\infty}\\&=-(F(-\infty)-F(+\infty))\\&=-(0-1)=1\end{aligned} ∫−∞+∞f(−x)dx=−∫−∞+∞f(−x)d(−x)=−F(−x)∣ ∣−∞+∞=−(F(−∞)−F(+∞))=−(0−1)=1