说到dijkstra，它其实是我第一个公司的Wi-Fi密码，当时我还不知道它就是求最短路径的一个算法。今天有幸能领略这位荷兰科学家的智慧～

Dijkstra算法是求某个源点到其他各顶点的最短路径的。

书本上的公式有点复杂，不如先看个例子再去理解公式～

比如上图这道题（ppt画的，凑合看吧～）

运用dijkstra，求V0到各点的最短路径？

解答具体过程：

令S表示已求出最短路径的顶点集合。D［i］表示V0到Vi的路径长度。arcs[i][j]表示从i到j的直接距离

第一步：V0到其他顶点的直接路径：

下一步：计算min{D[i]}，得到D[2]最小，便将V2加入S中，得到V0V2最短路径10，重新计算V0到各点路径：

D[1](new) = min{D[1](old) ,D[2]+arcs[2][1]} ＝ min{50,10+∞}=50

D[3](new) = min{D[3](old) ,D[2]+arcs[2][3]} ＝ min{∞,10+15}=25

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[2]+arcs[2][4]} ＝ min{45,10+∞}=45

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[2]+arcs[2][5]} ＝ min{∞,10+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0，V2}	50		25	45	∞

下一步：（也不能说下一步，反正就是循环）计算min{D[i]}，D[3]最小，V3加入S中，得到V0V3最短路径25，重新计算路径：

D[1](new) = min{D[1](old) ,D[3]+arcs[3][1]} ＝ min{50,25+20}=45

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[3]+arcs[3][4]} ＝ min{45,25+20}=45

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[3]+arcs[3][5]} ＝ min{∞,25+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0，V2，V3}	45			45	∞

怎么样？是不是很带感

下一步：计算min{D[i]}，D[1]（看1比较顺眼）最小，V1加入S中，得到V0V1最短路径45，重新计算路径：

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[1]+arcs[1][4]} ＝ min{45,45+10}=55

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[1]+arcs[1][5]} ＝ min{∞,45+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0,V2,V3,V1}				45	∞

下一步：计算min{D[i]}，D[4]最小，V4加入S中，得到V0V4最短路径45，重新计算路径：

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[4]+arcs[4][5]} ＝ min{∞,45+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0,V2,V3,V1,V4}					∞

得到V0V5最短路径∞，

所以最短路径为

Dijkstra算法的基本思想是：按最短路径长度递增的顺序，逐个产生各最短路径。

那么如何递增呢？其实是运用一条性质：如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。

然而这条性质是如何得到呢，这就需要我们先弄清楚最短路径的“最优子结构性质”。

最优子结构性质：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面用反证法证明：

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么

必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

好了，铺垫的差不多了，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi（注意相邻和最短），那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+arcs[i][j]}。

根据这种思路，假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，S={V0}, dist[i]记录V0到Vi的最短距离，path[i]记录从V0到Vi路径上的Vi前面的一个顶点。

1.从不在S的V中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到S中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})；（上例是全部更新，不直接相邻就用“∞”表示）

3.直到S=V。

代码实现:（代码来源于网络）

1. #include <iostream>
2. #include<stack>
3. #define M 100
4. #define N 100
5. using namespace std;
6. typedef struct node
7. {
8. int matrix[N][M]; //邻接矩阵
9. int n; //顶点数
10. int e; //边数
11. }MGraph;
12. void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点
13. {
14. int i,j,k;
15. bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
16. for(i=0;i<g.n;i++) //初始化
17. {
18. if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
19. {
20. dist[i]=g.matrix[v0][i];
21. path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
22. }
23. else
24. {
25. dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
26. path[i]=-1;
27. }
28. visited[i]=false;
29. path[v0]=v0;
30. dist[v0]=0;
31. }
32. visited[v0]=true;
33. for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次
34. {
35. int min=INT_MAX;
36. int u;
37. for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点
38. {
39. if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
40. {
41. min=dist[j];
42. u=j;
43. }
44. }
45. visited[u]=true;
46. for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值
47. {
48. if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
49. {
50. dist[k]=min+g.matrix[u][k];
51. path[k]=u;
52. }
53. }
54. }
55. }
56. void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点
57. {
58. stack<int> s;
59. int u=v;
60. while(v!=v0)
61. {
62. s.push(v);
63. v=path[v];
64. }
65. s.push(v);
66. while(!s.empty())
67. {
68. cout<<s.top()<<" ";
69. s.pop();
70. }
71. }
72. int main(int argc, char *argv[])
73. {
74. int n,e; //表示输入的顶点数和边数
75. while(cin>>n>>e&&e!=0)
76. {
77. int i,j;
78. int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w
79. MGraph g;
80. int v0;
81. int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
82. int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
83. for(i=0;i<N;i++)
84. for(j=0;j<M;j++)
85. g.matrix[i][j]=0;
86. g.n=n;
87. g.e=e;
88. for(i=0;i<e;i++)
89. {
90. cin>>s>>t>>w;
91. g.matrix[s][t]=w;
92. }
93. cin>>v0; //输入源顶点
94. DijkstraPath(g,dist,path,v0);
95. for(i=0;i<n;i++)
96. {
97. if(i!=v0)
98. {
99. showPath(path,i,v0);
100. cout<<dist[i]<<endl;
101. }
102. }
103. }
104. return 0;
105. }