【控制】二阶 UGV 的时间-输入指标性能最优解算

结合生活中常见实际情况可知，无人车的运行空间一般为二维平面。因此，假设无人车的动力学模型如下：

p˙i=viv˙i=ui\begin{aligned} \dot{p}_i = v_i \\ \dot{v}_i = u_i \\ \end{aligned}p˙i=viv˙i=ui

这里，pi∈R2p_i\in\mathbb{R}^2pi∈R2 表示UGV的位置状态，vi∈R2v_i\in\mathbb{R}^2vi∈R2 表示UGV的速度状态，ui∈R2u_i\in\mathbb{R}^2ui∈R2 表示UGV的控制输入。

也可写成状态空间方程的形式：

x˙i=Axi+Bui\dot{x}_i = A x_i + B u_i x˙i=Axi+Bui

其中，xi=[pi,vi]Tx_i = [p_i, v_i]^Txi=[pi,vi]T，A=[0100]A=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]A=[0010]，B=[01]B=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right]B=[01]。

性能指标为：
J=12∫0∞[xTQx+uTRu]dtJ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} [x^T Q x + u^T R u] ~dtJ=21∫0∞[xTQx+uTRu] dt

假设 Q=[0100],R=[1]Q = \left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right], R = \left[\begin{matrix} 1 \end{matrix}\right]Q=[0010],R=[1]。

alphaG = 1;
betaG  = 1;
aG = kron([0 1; 0 0], eye(1));
bG = kron([ 0 ;  1 ], eye(1));
QG = eye(2*1) * alphaG;
RG = eye(1*1) * betaG;
[PG,l,g] = care(aG,bG,QG,RG);KG = -inv(RG) * bG' * PG;

解算出来最优 KKK

KG =-1.0000   -1.7321

代入初始值，p(t=0)=10,v(t=0)=2p(t=0) = 10, v(t=0) = 2p(t=0)=10,v(t=0)=2，计算系统方程

p0 = 10;
v0 = 2;
in = [p0 v0]';[t,out] = ode45(@odeFun, [0,10], in);
plot(t,out);function out = odeFun(t,in)p = in(1,1);v = in(2,1);dp = v;dv = -p-1.732*v;out = [dp; dv];
end

性能指标为：
J=tf+12∫0tfu2(t)dtJ = t_f + \frac{1}{2} \int_{0}^{t_f} u^2(t) dtJ=tf+21∫0tfu2(t)dt

初始状态（横截条件）为：
p(0)=10p(tf)=0v(0)=1v(tf)=0\begin{aligned} &p(0) = 10 &p(t_f) = 0 \\ &v(0) = 1 &v(t_f) = 0 \\ \end{aligned}p(0)=10v(0)=1p(tf)=0v(tf)=0

构建系统Hamilton函数
H=12u2(t)+λ1v+λ2u(t)H = \frac{1}{2} u^2(t) + \lambda_1 v + \lambda_2 u(t)H=21u2(t)+λ1v+λ2u(t)

正则方程
p˙(t)=∂H∂λ1=vv˙(t)=∂H∂λ2=uλ˙1=−∂H∂p=0⇒λ1=aλ˙2=−∂H∂v=−λ1⇒λ2=−at+b\begin{aligned} &\dot{p}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda_1} = v \\ &\dot{v}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda_2} = u \\ &\dot{\lambda}_1 = -\frac{\partial H}{\partial p} = 0 \Rightarrow \lambda_1 = a\\ &\dot{\lambda}_2 = -\frac{\partial H}{\partial v} = -\lambda_1 \Rightarrow \lambda_2 = -a t + b \\ \end{aligned}p˙(t)=∂λ1∂H=vv˙(t)=∂λ2∂H=uλ˙1=−∂p∂H=0⇒λ1=aλ˙2=−∂v∂H=−λ1⇒λ2=−at+b

因为 uuu 是无约束的，因此有极值条件
∂H∂u=u+λ2=0\frac{\partial H}{\partial u} = u + \lambda_2 = 0 ∂u∂H=u+λ2=0

得出来 uuu 的表达式
u=−λ2=at−bu = - \lambda_2 = at - bu=−λ2=at−b

由 uuu 的表达式做积分可得
v=12at2−bt+cp=16at3−12bt2+ct+d\begin{aligned} v &= \frac{1}{2} a t^2 - b t + c \\ p &= \frac{1}{6} a t^3 - \frac{1}{2} b t^2 + c t + d \\ \end{aligned}vp=21at2−bt+c=61at3−21bt2+ct+d

结合横截条件中的初态条件 p(0)=10,v(0)=1p(0) = 10, v(0) = 1p(0)=10,v(0)=1 可得
c=1d=10\begin{aligned} c &= 1 \\ d &= 10 \\ \end{aligned}cd=1=10

由Hamilton函数在最优轨线末端应满足的条件 H(tf)=−∂φ∂tfH(t_f) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f}H(tf)=−∂tf∂φ 有
H(tf)=12u2(t)+λ1v+λ2u(t)=12(atf−b)2+a(12atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−∂φ∂tf=−1\begin{aligned} H(t_f) &= \frac{1}{2} u^2(t) + \lambda_1 v + \lambda_2 u(t) \\ &= \frac{1}{2} (at_f-b)^2 + a(\frac{1}{2}a t_f^2 - b t_f + c) + (-at_f + b)(at_f-b) \\ &= -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} \\ &= -1 \\ \end{aligned}H(tf)=21u2(t)+λ1v+λ2u(t)=21(atf−b)2+a(21atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−∂tf∂φ=−1

再结合横街条件中的末态条件 p(tf)=0,v(tf)=0p(t_f) = 0, v(t_f) = 0p(tf)=0,v(tf)=0，现在已经三个方程三个未知量，解方程即可
{12(atf−b)2+a(12atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−112atf2−btf+c=016atf3−12btf2+ctf+d=0\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{2} (at_f-b)^2 + a(\frac{1}{2}a t_f^2 - b t_f + c) + (-at_f + b)(at_f-b) = -1 \\ &\frac{1}{2} a t_f^2 - b t_f + c = 0 \\ &\frac{1}{6} a t_f^3 - \frac{1}{2} b t_f^2 + c t_f + d = 0 \\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧21(atf−b)2+a(21atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−121atf2−btf+c=061atf3−21btf2+ctf+d=0

利用Matlab解算方程组

syms a b tf
eqns = [1/2*(a*tf-b)^2 + a*(1/2*a*tf^2-b*tf+1) + (-a*tf+b)*(a*tf-b) == -1,... 1/2*a*tf^2 - b*tf + 1==0,... 1/6*a*tf^3 - 1/2*b*tf^2 + tf + 10==0];
vars = [a b tf];
[a b tf] = solve(eqns, vars);double(a)
double(b)
double(tf)a = 0.4276
b = 1.6897
tf= 7.2589

解的最后结果为
{a=0.4276b=1.6897tf=7.2589\left\{\begin{aligned} &a = 0.4276 \\ &b = 1.6897 \\ &t_f = 7.2589 \\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎨⎪⎧a=0.4276b=1.6897tf=7.2589

因此，代入解算出来的参数，那么有最优
{tf∗=7.2589u∗(t)=0.4276t−1.6897v∗(t)=0.2138t2−1.6897t+1p∗(t)=0.0713t3−0.8448t2+t+10J∗(t)=tf∗+12∫0tf∗u∗2(t)dt\left\{\begin{aligned} &t_f^* = 7.2589 \\ &u^*(t) = 0.4276 t - 1.6897 \\ &v^*(t) = 0.2138 t^2 - 1.6897 t + 1 \\ &p^*(t) = 0.0713 t^3 - 0.8448 t^2 + t + 10 \\ &J^*(t) = t_f^* + \frac{1}{2} \int_{0}^{t_f^*} u^{*2}(t) dt \\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧tf∗=7.2589u∗(t)=0.4276t−1.6897v∗(t)=0.2138t2−1.6897t+1p∗(t)=0.0713t3−0.8448t2+t+10J∗(t)=tf∗+21∫0tf∗u∗2(t)dt

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