【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算

结合生活中常见实际情况可知，无人车的运行空间一般为二维平面。因此，假设无人车的动力学模型如下：

p˙i=viv˙i=ui\begin{aligned} \dot{p}_i = v_i \\ \dot{v}_i = u_i \\ \end{aligned}p˙i=viv˙i=ui

这里，pi∈R2p_i\in\mathbb{R}^2pi∈R2 表示UGV的位置状态，vi∈R2v_i\in\mathbb{R}^2vi∈R2 表示UGV的速度状态，ui∈R2u_i\in\mathbb{R}^2ui∈R2 表示UGV的控制输入。

也可写成状态空间方程的形式：

x˙i=Axi+Bui\dot{x}_i = A x_i + B u_i x˙i=Axi+Bui

其中，xi=[pi,vi]Tx_i = [p_i, v_i]^Txi=[pi,vi]T，A=[0100]A=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]A=[0010]，B=[01]B=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right]B=[01]。

性能指标为：
J=tf+12∫0tfu2(t)dtJ = t_f + \frac{1}{2} \int_{0}^{t_f} u^2(t) dtJ=tf+21∫0tfu2(t)dt

初始状态（横截条件）为：
p(0)=10p(tf)=0v(0)=1v(tf)=0\begin{aligned} &p(0) = 10 &p(t_f) = 0 \\ &v(0) = 1 &v(t_f) = 0 \\ \end{aligned}p(0)=10v(0)=1p(tf)=0v(tf)=0

构建系统Hamilton函数
H=12u2(t)+λ1v+λ2u(t)H = \frac{1}{2} u^2(t) + \lambda_1 v + \lambda_2 u(t)H=21u2(t)+λ1v+λ2u(t)

正则方程
p˙(t)=∂H∂λ1=vv˙(t)=∂H∂λ2=uλ˙1=−∂H∂p=0⇒λ1=aλ˙2=−∂H∂v=−λ1⇒λ2=−at+b\begin{aligned} &\dot{p}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda_1} = v \\ &\dot{v}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda_2} = u \\ &\dot{\lambda}_1 = -\frac{\partial H}{\partial p} = 0 \Rightarrow \lambda_1 = a\\ &\dot{\lambda}_2 = -\frac{\partial H}{\partial v} = -\lambda_1 \Rightarrow \lambda_2 = -a t + b \\ \end{aligned}p˙(t)=∂λ1∂H=vv˙(t)=∂λ2∂H=uλ˙1=−∂p∂H=0⇒λ1=aλ˙2=−∂v∂H=−λ1⇒λ2=−at+b

因为 uuu 是无约束的，因此有极值条件
∂H∂u=u+λ2=0\frac{\partial H}{\partial u} = u + \lambda_2 = 0 ∂u∂H=u+λ2=0

得出来 uuu 的表达式
u=−λ2=at−bu = - \lambda_2 = at - bu=−λ2=at−b

由 uuu 的表达式做积分可得
v=12at2−bt+cp=16at3−12bt2+ct+d\begin{aligned} v &= \frac{1}{2} a t^2 - b t + c \\ p &= \frac{1}{6} a t^3 - \frac{1}{2} b t^2 + c t + d \\ \end{aligned}vp=21at2−bt+c=61at3−21bt2+ct+d

结合横截条件中的初态条件 p(0)=10,v(0)=1p(0) = 10, v(0) = 1p(0)=10,v(0)=1 可得
c=1d=10\begin{aligned} c &= 1 \\ d &= 10 \\ \end{aligned}cd=1=10

由Hamilton函数在最优轨线末端应满足的条件 H(tf)=−∂φ∂tfH(t_f) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f}H(tf)=−∂tf∂φ 有
H(tf)=12u2(t)+λ1v+λ2u(t)=12(atf−b)2+a(12atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−∂φ∂tf=−1\begin{aligned} H(t_f) &= \frac{1}{2} u^2(t) + \lambda_1 v + \lambda_2 u(t) \\ &= \frac{1}{2} (at_f-b)^2 + a(\frac{1}{2}a t_f^2 - b t_f + c) + (-at_f + b)(at_f-b) \\ &= -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} \\ &= -1 \\ \end{aligned}H(tf)=21u2(t)+λ1v+λ2u(t)=21(atf−b)2+a(21atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−∂tf∂φ=−1

再结合横街条件中的末态条件 p(tf)=0,v(tf)=0p(t_f) = 0, v(t_f) = 0p(tf)=0,v(tf)=0，现在已经三个方程三个未知量，解方程即可
{12(atf−b)2+a(12atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−112atf2−btf+c=016atf3−12btf2+ctf+d=0\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{2} (at_f-b)^2 + a(\frac{1}{2}a t_f^2 - b t_f + c) + (-at_f + b)(at_f-b) = -1 \\ &\frac{1}{2} a t_f^2 - b t_f + c = 0 \\ &\frac{1}{6} a t_f^3 - \frac{1}{2} b t_f^2 + c t_f + d = 0 \\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧21(atf−b)2+a(21atf2−btf+c)+(−atf+b)(atf−b)=−121atf2−btf+c=061atf3−21btf2+ctf+d=0

利用Matlab解算方程组

syms a b tf
eqns = [1/2*(a*tf-b)^2 + a*(1/2*a*tf^2-b*tf+1) + (-a*tf+b)*(a*tf-b) == -1,... 1/2*a*tf^2 - b*tf + 1==0,... 1/6*a*tf^3 - 1/2*b*tf^2 + tf + 10==0];
vars = [a b tf];
[a b tf] = solve(eqns, vars);double(a)
double(b)
double(tf)a = 0.4276
b = 1.6897
tf= 7.2589

解的最后结果为
{a=0.4276b=1.6897tf=7.2589\left\{\begin{aligned} &a = 0.4276 \\ &b = 1.6897 \\ &t_f = 7.2589 \\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎨⎪⎧a=0.4276b=1.6897tf=7.2589

因此，代入解算出来的参数，那么有最优
{tf∗=7.2589u∗(t)=0.4276t−1.6897v∗(t)=0.2138t2−1.6897t+1p∗(t)=0.0713t3−0.8448t2+t+10J∗(t)=tf∗+12∫0tf∗u∗2(t)dt\left\{\begin{aligned} &t_f^* = 7.2589 \\ &u^*(t) = 0.4276 t - 1.6897 \\ &v^*(t) = 0.2138 t^2 - 1.6897 t + 1 \\ &p^*(t) = 0.0713 t^3 - 0.8448 t^2 + t + 10 \\ &J^*(t) = t_f^* + \frac{1}{2} \int_{0}^{t_f^*} u^{*2}(t) dt \\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧tf∗=7.2589u∗(t)=0.4276t−1.6897v∗(t)=0.2138t2−1.6897t+1p∗(t)=0.0713t3−0.8448t2+t+10J∗(t)=tf∗+21∫0tf∗u∗2(t)dt

【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算相关推荐

【控制】二阶 UGV 的时间-输入指标性能最优解算
结合生活中常见实际情况可知,无人车的运行空间一般为二维平面.因此,假设无人车的动力学模型如下: p˙i=viv˙i=ui\begin{aligned} \dot{p}_i = v_i \\ \dot{ ...
matlab二阶阻尼震荡衰减,二阶欠阻尼电路的零响应输入-MATLAB课程设计.doc
二阶欠阻尼电路的零响应输入-MATLAB课程设计.doc 摘要 MATLAB具有强大的运算和作图功能,为电路分析引入计算机数值方法提供了技术保证.MATLAB中的变量与常量都是矩阵,其元素可以使复数和 ...
tplink控制上网设备_tplink路由器如何控制小孩的使用上网时间
小孩子健康的上网,是很多家长关心的问题,使用路由器可以轻松的做到小孩与大人的网络隔离:路由器设置中可以很方便的控制上网时间,那么如何实现上网时间限制功能呢? 本文介绍TL-WDR6500的上网时间限制 ...
控制儿童在什么时段使用计算机,win10系统设置控制孩子用电脑的时间的图文步骤...
win10系统使用久了,好多网友反馈说关于对win10系统设置控制孩子用电脑的时间设置的方法,在使用win10系统的过程中经常不知道如何去对win10系统设置控制孩子用电脑的时间进行设置,有什么好的办 ...
控制儿童在什么时段使用计算机,如何控制小孩用电脑的时间
炎炎夏日,一年一度的暑假又到来了,这时候最开心的当然是孩子们了,毕竟可以轻轻松松的玩两个月,不用早起,不用上学.然而,与此同时,家长们就要开始担忧了.他们要考虑,当他们去上班之后,孩子们在家里玩一整天 ...
让脚趾来控制上千人的网络状态，简直太有成就感了
猫猫分享必属精品刚上大学没多久,就遇到件头疼事. 富二代们刚来就带着笔记本电脑,这让咱们只能玩手机的屌丝辈们羡慕嫉妒恨.要命的事来了,晚上断电不断网,于是熄灯后笔记本仍然可以玩. 不巧的是,我们寝室 ...
【四足机器人--控制指令输入及转换】（1）遥控手柄状态指令转换为机器人躯干状态输入代码解析
系列文章目录提示:这里可以添加系列文章的所有文章的目录,目录需要自己手动添加 TODO:写完再整理文章目录系列文章目录前言一.遥控手柄输入的躯干状态指令类型(位置.姿态.角度.角速度) 类型 ...
控制儿童在什么时段使用计算机,利用家长控制限制孩子使用电脑时间，让其只能学习不能玩游戏...
原标题:利用家长控制限制孩子使用电脑时间,让其只能学习不能玩游戏小孩玩电脑是很没有节制的,其实Windows系统有一个家长控制,可以限制使用计算机的时段.可以玩的游戏类型以及可以运行的程序.下面我们 ...
html中wmv播放不要自动播放,网页播放器 windowsmediaplay中控制从wmv的指定时间开始播放，指定时间停止播放...
首页 > 网络编程 > 网页播放器 > 网页播放器 windowsmediaplay 网页播放器 windowsmediaplay中控制从wmv的指定时间开始播放,指定时间停止播放 ...

【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算

【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算相关推荐

最新文章

热门文章