MOOSE相场模块的内核模型
MOOSE相场模块的内核模型
引子
moose的相场模块提供了通用的求解相场模型的算法,其通式采用的是自由能泛函的原始形式,只要用户要求解的模型满足这里内置的方程形式,那么用户仅需要提供自由能的导数和材料参数,就可以迅速进行模拟。比如教程中的调幅分解模型。
如果用户不能知道相场的原始形式,也可以自己开发模型,比如用于模拟枝晶生长的Kobayashi模型,就不满足上述规则,此时可以自己创建模型。
牛顿迭代法
moose内核模型的表达形式是将原来的控制方程中的右端项都移动到左端,得到这样的形式:
其中,N是分量的个数。
如果写成有限元函数的形式:
其中:
即,原来的连续的场变量由节点上的离散的系数来代替。
单变量求根
现在仅考虑单变量情形:
moose采用Newton迭代法来对其求根,该方法的基本思想是:将非线性方程的求根问题,转化成某个线性方程的求根。比如,对该方程的左端项进行泰勒展开,且只取其线性主部:
那么,解就是:
这样就得到根的新的近似值。进一步迭代:
当前后两步解的差值达到某个精度时,就认为该解就是方程的根。
多变量求根
回到有限元法中,因为场函数由分布在节点上的有限元函数值所代替,所以此时变量就有多个。那么,对应于单变量情形,可得出多变量时的表达式:
其中, J(u⃗ 0)是当前迭代步的雅各比矩阵。上方带箭头的变量表示其是一个矢量,矢量大小就是节点的个数。
通用的迭代格式就是:
其中雅各比矩阵的具体形式为:
在求雅各比矩阵时,有两个基本公式是非常重要的:
牛刀小试
对于一个经典的对流-扩散方程:
其残差向量的第i个分量为:
雅各比矩阵的某个元素为:
注意,这里假定扩散系数、对流速度、源项等都是变量,所以形式会比较复杂。
尤其是对于多个方程相互耦合,或材料属性比较复杂的情形,雅各比矩阵的计算会很困难。
链式法则
有时候,可以应用链式法则来简化一下,比如:
如果f的表达式已知,比如 f(u)=sin(u),那么:
JFNK算法
JFNK算法,全称是Jacobian Free Newton Krylov methods,是数值求解非线性问题的一种先进方法,其核心思想是将Newton非线性迭代法嵌入到Krylov空间法求解线性代数方程组的过程中,其显著优点是避免了传
统Newton迭代法中的Jacobian矩阵生成环节,有利于降低内存占用率,缩短计算时长。
JFNK算法将Newton迭代法与Krylov空间法结合的方式是将Newton迭代法中的Jacobian矩阵J
与Krylov空间法的解向量 v⃗ 之间进行向量积操作,其近似为:
这个算法的优点有:
- 无需计算偏导数来得到雅各比矩阵
- 无需直接计算雅各比矩阵
- 无需空间来存储雅各比矩阵
调幅分解所用的Cahn-Hilliard方程
这里将含有四阶导数的原CH方程,拆分成两个,这样每个都只含有二阶导数,易于求解,两个方程的变量分别是化学势和浓度。
化学势的残差
其表达式及其求解内核分为两个:
第一项
该项中变量是化学势,耦合的变量是浓度,使用的内核是CoupledTimeDerivative。
Real CoupledTimeDerivative::computeQpResidual() { return _test[_i][_qp] * _v_dot[_qp]; } Real CoupledTimeDerivative::computeQpJacobian() { return 0.0; } |
第二项
该项中变量是化学势,使用的内核是SplitCHWRes,实际使用的是SplitCHWResBase:
template<typename T> Real SplitCHWResBase<T>::computeQpResidual() { return _mob[_qp] * _grad_u[_qp] * _grad_test[_i][_qp]; } template<typename T> Real SplitCHWResBase<T>::computeQpJacobian() { return _mob[_qp] * _grad_phi[_j][_qp] * _grad_test[_i][_qp]; } |
浓度的残差
残差表达式为:
变量是浓度,还需耦合化学势 μ
,使用的内核是SplitCHParsed,实际使用的内核是SplitCHCRes:
Real SplitCHCRes::computeQpResidual() { Real residual = SplitCHBase::computeQpResidual(); //(f_prime_zero+e_prime)*_test[_i][_qp] from SplitCHBase residual += -_w[_qp] * _test[_i][_qp]; residual += _kappa[_qp] * _grad_u[_qp] * _grad_test[_i][_qp]; return residual; } Real SplitCHCRes::computeQpJacobian() { Real jacobian = SplitCHBase::computeQpJacobian(); //(df_prime_zero_dc+de_prime_dc)*_test[_i][_qp]; from SplitCHBase jacobian += _kappa[_qp] * _grad_phi[_j][_qp] * _grad_test[_i][_qp]; return jacobian; } ``` 注意,在computeQpResidual函数中,可以很容易地找出第一项和第三项的计算过程,但对于第二项,可能不容易发现,其实第二项的计算放在了最前面: ```cpp Real residual = SplitCHBase::computeQpResidual(); //(f_prime_zero+e_prime)*_test[_i][_qp] from SplitCHBase |
然后:
Real SplitCHBase::computeQpResidual() { Real f_prime_zero = computeDFDC(Residual); Real e_prime = computeDEDC(Residual); Real residual = (f_prime_zero + e_prime) *_test[_i][_qp]; return residual; } |
然后computeDFDC和computeDEDC就是计算自由能密度和其他能量对浓度的一阶导数,即:
Real SplitCHParsed::computeDFDC(PFFunctionType type) { switch (type) { case Residual: return _dFdc[_qp]; case Jacobian: return _d2Fdc2[_qp] * _phi[_j][_qp]; } mooseError("Internal error"); } |
实际上,
_dFdc(getMaterialPropertyDerivative<Real>("f_name", _var.name())), _d2Fdc2(getMaterialPropertyDerivative<Real>("f_name", _var.name(), _var.name())) |
注意取一阶导数和二阶导数时,是由后面的参数个数来控制。
具体的自由能形式则是在输入文件中输入:
[Materials] [./local_energy] # Defines the function for the local free energy density as given in the # problem, then converts units and adds scaling factor. type = DerivativeParsedMaterial block = 0 f_name = f_loc args = c constant_names = 'A B C D E F G eV_J d' constant_expressions = '-2.446831e+04 -2.827533e+04 4.167994e+03 7.052907e+03 1.208993e+04 2.568625e+03 -2.354293e+03 6.24150934e+18 1e-27' function = 'eV_J*d*(A*c+B*(1-c)+C*c*log(c)+D*(1-c)*log(1-c)+ E*c*(1-c)+F*c*(1-c)*(2*c-1)+G*c*(1-c)*(2*c-1)^2)' [../] [] |
枝晶生长所用的Kobayashi模型
相场的残差
包括以下几项:
第一项
内核使用TimeDerivative:
#include "TimeDerivative.h" #include "Assembly.h" // libmesh includes #include "libmesh/quadrature.h" template<> InputParameters validParams<TimeDerivative>() { InputParameters params = validParams<TimeKernel>(); params.addParam<bool>("lumping", false, "True for mass matrix lumping, false otherwise"); return params; } TimeDerivative::TimeDerivative(const InputParameters & parameters) : TimeKernel(parameters), _lumping(getParam<bool>("lumping")) {} Real TimeDerivative::computeQpResidual() { return _test[_i][_qp]*_u_dot[_qp]; } Real TimeDerivative::computeQpJacobian() { return _test[_i][_qp]*_phi[_j][_qp]*_du_dot_du[_qp]; } void TimeDerivative::computeJacobian() { if (_lumping) { DenseMatrix<Number> & ke = _assembly.jacobianBlock(_var.number(), _var.number()); for (_i = 0; _i < _test.size(); _i++) for (_j = 0; _j < _phi.size(); _j++) for (_qp = 0; _qp < _qrule->n_points(); _qp++) ke(_i, _i) += _JxW[_qp] * _coord[_qp] * computeQpJacobian(); } else TimeKernel::computeJacobian(); } |
第二项
注意将残差都移动到方程左端,注意符号变化。
这两项使用内核ACInterfaceKobayashi1.h,其实际使用KernelGrad:
RealGradient ACInterfaceKobayashi1::precomputeQpResidual() { // Set modified gradient vector const RealGradient v(- _grad_u[_qp](1), _grad_u[_qp](0), 0); // Define anisotropic interface residual return _eps[_qp] * _deps[_qp] * _L[_qp] * v; } ... void KernelGrad::computeResidual() { DenseVector<Number> & re = _assembly.residualBlock(_var.number()); _local_re.resize(re.size()); _local_re.zero(); const unsigned int n_test = _test.size(); for (_qp = 0; _qp < _qrule->n_points(); _qp++) { RealGradient value = precomputeQpResidual() * _JxW[_qp] * _coord[_qp]; for (_i = 0; _i < n_test; _i++) // target for auto vectorization _local_re(_i) += value * _grad_test[_i][_qp]; } re += _local_re; if (_has_save_in) { Threads::spin_mutex::scoped_lock lock(Threads::spin_mtx); for (const auto & var : _save_in) var->sys().solution().add_vector(_local_re, var->dofIndices()); } } |
第三项
注意,内核中不是直接使用该形式,该形式是自由能对相场参量的一阶导数,实际程序中使用的也是一阶导数,所以需要输入的是自由能,即该形式的积分。
其使用的内核是ACInterfaceKobayashi2,实际也是KernelGrad:
RealGradient ACInterfaceKobayashi2::precomputeQpResidual() { // Set interfacial part of residual return _eps[_qp] * _eps[_qp] * _L[_qp] * _grad_u[_qp]; } ... KernelGrad::computeResidual() { DenseVector<Number> & re = _assembly.residualBlock(_var.number()); _local_re.resize(re.size()); _local_re.zero(); const unsigned int n_test = _test.size(); for (_qp = 0; _qp < _qrule->n_points(); _qp++) { RealGradient value = precomputeQpResidual() * _JxW[_qp] * _coord[_qp]; for (_i = 0; _i < n_test; _i++) // target for auto vectorization _local_re(_i) += value * _grad_test[_i][_qp]; } re += _local_re; if (_has_save_in) { Threads::spin_mutex::scoped_lock lock(Threads::spin_mtx); for (const auto & var : _save_in) var->sys().solution().add_vector(_local_re, var->dofIndices()); } } |
(4)
使用的内核是AllenCahn,实际间接使用了ACBulk,最终使用KernelValue:
... _dFdEta(getMaterialPropertyDerivative<Real>("f_name", _var.name())), _d2FdEta2(getMaterialPropertyDerivative<Real>("f_name", _var.name(), _var.name())), ... Real AllenCahn::computeDFDOP(PFFunctionType type) { switch (type) { case Residual: return _dFdEta[_qp]; case Jacobian: return _d2FdEta2[_qp] * _phi[_j][_qp]; } mooseError("Internal error"); } ... template<typename T> Real ACBulk<T>::precomputeQpResidual() { // Get free energy derivative from function Real dFdop = computeDFDOP(Residual); // Set residual return _L[_qp] * dFdop; } ... void KernelValue::computeResidual() { DenseVector<Number> & re = _assembly.residualBlock(_var.number()); _local_re.resize(re.size()); _local_re.zero(); const unsigned int n_test = _test.size(); for (_qp = 0; _qp < _qrule->n_points(); _qp++) { Real value = precomputeQpResidual() * _JxW[_qp] * _coord[_qp]; for (_i = 0; _i < n_test; _i++) // target for auto vectorization _local_re(_i) += value * _test[_i][_qp]; } re += _local_re; if (_has_save_in) { Threads::spin_mutex::scoped_lock lock(Threads::spin_mtx); for (const auto & var : _save_in) var->sys().solution().add_vector(_local_re, var->dofIndices()); } } |
温度场的残差
由以下几项构成:
第一项
所以使用的内核是TimeDerivative。
第二项
所以使用的内核是Diffusion。
第三项
使用的内核是CoefCoupledTimeDerivative,实际就是CoupledTimeDerivative再乘以一个系数:
Real CoefCoupledTimeDerivative::computeQpResidual() { return CoupledTimeDerivative::computeQpResidual() * _coef; } Real CoupledTimeDerivative::computeQpResidual() { return _test[_i][_qp] * _v_dot[_qp]; } |
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