相场模拟

基础相场方程
经典Kobayashi模型
- 模型概要
- COMSOL实现

COMSOL中追踪移动界面的方法有变形几何DG、ALE、水平集、相场。不过此篇博客要说的不是其自带的用于CFD中的相场接口，而是特指以弥散界面替代尖锐界面，以宏观能量变化驱动替代逐点追踪的相场模拟方法。在下也只是略懂皮毛，如果有正从事此方面研究的朋友可以交流交流~做相场模拟研究的基本不公开模型，想要重复文献中的模型真是焦头烂额。

参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a0a8b5d01011spl.html
（真的太感谢天乐树了！）

基础相场方程

对于一个模型，其总是由多个物理场所组成的，相应的变量可以分成两种，一种是保守量，另一种是非保守量，他们都需要满足能量法则。

对于保守量，其满足Cahn-Hilliard方程：

其中cic_ici是保守变量，DiD_iDi是相应的迁移率。

对于非保守量，其满足 Allen-Cahn方程

其中ξ\xiξ是序参数，MξM_{\xi}Mξ是序参数的迁移率。

F即为体系的自由能。
（这两个方程如何推导出来没太明白~）

自由能函数包括局部自由能，梯度自由能，以及系统的其它额外自由能（比如电势能，弹性势能等等）。可以用如下公式计算
F=∫V[floc+fgr+Ed]dVF = \int_V[f_{loc}+f_{gr}+E_d]dV\, F=∫V[floc+fgr+Ed]dV
一般的，梯度自由能：

通过这样两个方程就可以描述系统中能量的演变，从而驱动变量变化，改变界面。

经典Kobayashi模型

模型概要

一个定性描述水凝结成冰晶的过程的模型。具体的请参考文献 Physica D 63, 410-423 (1993)

该模型中，只有一相，从液态到固态，控制方程就比较简单了。
（1）温度变化方程

（2）相演变方程
这里序参数用ppp表示。

其中

（如果有哪位大佬懂，请讲一讲这个各向异性函数是怎么来的，对于不同的晶体，bcc，fcc体系等要如何使用）

COMSOL实现

这里采用COMSOL的PDE模块一般形式偏微分方程来实现该过程。第一个方程非常容易实现，直接往COMSOL方程模板套就可以。第二个方程有点小复杂。
这是COMSOL中的方程模板。

对方程（2）中的以下两项进行更改使得其符合COMSOL中的方程形式

我自己推的结果是

但是在天乐树的模型中右边第二项还在

可能我哪里推导错了？模型得用后者才算的正常

初始值和边界条件按照文献中所说的设定就可以。

附上所用的参数和变量值

变量设定

最终计算结果

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