正余弦优化算法(Sine Cosine Algorithm,SCA)

该算法是由澳大利亚的Mirjalili于2016年提出的一种基于种群的新型随机优化算法，SCA创建多个初始随机候选解，然后利用基于正弦和余弦函数的数学模型，使得这些解朝最优解方向或反向波动。算法源代码可以关注公众号后回复"正余弦"获取。

SCA

SCA本质上为基于种群的优化算法，而基于种群的优化算法的共同点是都包含两个阶段：探索和利用。探索阶段，算法以较大的概率随机搜索以充分探索搜索空间，而在利用阶段，随机概率逐渐下降。

SCA使用以下两个等式进行位置更新：
Xit+1=Xit+r1×sin⁡(r2)×∣r3Pit−Xit∣(1)X_{i}^{t+1}=X_{i}^{t}+r_{1} \times \sin \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|\tag{1}Xit+1=Xit+r1×sin(r2)×∣∣r3Pit−Xit∣∣(1)

Xit+1=Xit+r1×cos⁡(r2)×∣r3Pit−Xit∣(2)X_{i}^{t+1}=X_{i}^{t}+r_{1} \times \cos \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|\tag{2}Xit+1=Xit+r1×cos(r2)×∣∣r3Pit−Xit∣∣(2)

其中XitX_{i}^{t}Xit为第ttt次迭代中当前解在第iii个维度上的位置，r1r_1r1/r2r_2r2/r3r_3r3为随机数，PiP_{i}Pi为第iii维终点的位置。

这两个等式通常按照如下的组合方式使用：
Xit+1={Xit+r1×sin⁡(r2)×∣r3Pit−Xit∣,r4<0.5Xit+r1×cos⁡(r2)×∣r3Pit−Xit∣,r4≥0.5(3)X_{i}^{t+1}=\left\{\begin{array}{ll} X_{i}^{t}+r_{1} \times \sin \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|, & r_{4}<0.5 \\ X_{i}^{t}+r_{1} \times \cos \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|, & r_{4} \geq 0.5 \end{array}\right. \tag{3}Xit+1={Xit+r1×sin(r2)×∣r3Pit−Xit∣,Xit+r1×cos(r2)×∣r3Pit−Xit∣,r4<0.5r4≥0.5(3)

其中r4r_4r4为[0,1]之间的随机数。

可以看出，在SCA中主要涉及四个参数：r1r_1r1,r2r_2r2,r3r_3r3和r4r_4r4。参数r1r_1r1为下一位置的所在区域（或移动方向），该区域既可以位于解和终点之间的空间内，也可以不在。参数r2r_2r2定义了朝向或背离终点的距离远近。参数r3∈[0,2]r_3\in[0,2]r3∈[0,2]为终点引入了随机权重，以随机强调(r3>1r_3>1r3>1)或弱化(r3<1r_3<1r3<1)终点在距离计算时的作用。参数r4r_4r4用于以相等的概率在正弦和余弦之间进行切换。

等式(1)和(2)中正弦和余弦对下一位置的影响如图1所示，正弦和余弦的周期模式可以允许一个解在另一个解周围重新定位，从而保证利用两个解之间定义的空间，同时为了探索搜索空间，解应该能够搜索其对应终点之间之外的空间，而这可以通过改变正弦和余弦函数的取值范围来实现，如图2所示。

图3展示了改变正余弦的取值范围可以更新解的位置，该随机位置到底是在空间内还是空间外，是通过等式(3)中定义的r2∈[0,2π]r_2\in[0, 2\pi]r2∈[0,2π]来实现的。

为了平衡探索和利用，正弦和余弦的取值范围应该自适应地调整：
r1=a−taT(4)r_{1}=a-t \frac{a}{T}\tag{4}r1=a−tTa(4)

其中ttt为当前迭代，TTT为最大迭代次数，aaa是一个常数。图4展示了当a=2a=2a=2时取值范围递减的过程。

所以通过图3和图4可知，当取值范围在(1,2]和[-2,-1)范围内时，SCA算法在空间内进行探索，而当取值范围在[-1,1]之间时，SCA在空间内进行利用。

SCA算法的伪代码如下：

初始化初始解(XXX)

评估每个代理的目标函数

更新当前最优解(P=X∗P=X^*P=X∗)

更新r1r_1r1,r2r_2r2,r3r_3r3和r4r_4r4

更新代理的位置(式3)

While(ttt<最大迭代次数)

Return全局最优解

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