中国剩余定理

乘法逆元

乘法逆元的定义

乘法逆元的计算

这里采用的方式是穷举法，一遍一遍试出满足条件的最小x值，通常采用编程方式去找出x。

中国剩余定理（孙子定理）的定义及解法

上面定理的证明需要一个同余换模的定理作支撑，以下是定理的定义及证明：

实际推算过程中，不一定按照上述定理的推算过程，可以以局限式的推出结果：
1.一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多1人，每组五人就多2人，每组七人就多3人，问这个班有多少学生?
解：设这个班有x个学生，则x除以3余1；x除以5余2；x除以7余3。
（1）首先求出x除以5余2；x除以7余3最小正整数：
把除以7余3的数从小到大排列：3，10，17，24，31，……
以上各数除以5的余数分别为： 3，0 ，2 ，4 ，1 ，……
所以满足条件的是17，因此x除以35余17
（2）求出x除以35余17；x除以3余1最小正整数：
把除以35余17的数从小到大排列：17，52，87，……
以上各数除以3的余数分别为： 2， 1 ，0 ，……
所以满足条件的是52。

这里x除以35余17只是以17作为一个最小的满足（1）条件的最小整数来推算最后的最小满足（1）和（2）的结果。

按照上述定理的严格推算可以为以下解答过程：
求正整数解x满足:
x= 1mod3
= 2mod5
= 3mod7
首先利用秦九韶发明的“大衍求一术”求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个数70 (这个数35相对于3的数论倒数)，3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15。然后计算
70x1+21x2+15x3= 157
157便是可能的解之一。它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为157除以105的余数52。以上解法若推广到一般情况，便得到了中国剩余定理（孙子定理）

这里参考一篇关于中国剩余定理在实际问题的应用解答过程
中国剩余定理【数论】
中国剩余定理（孙子定理）

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