Author:ZHANG TAO
Data:2018.4.3

student t-test假设检验

χ2−χ2−\chi^2-distribution

设X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是来自总体N(0,1)N(0,1)N(0,1)的样本，则称统计量

χ2=X21+X22+...+X2nχ2=X12+X22+...+Xn2

\chi^2 = X_1^2+X_2^2+...+X_n^2
服从自由度为n的卡方分布，记为 χ2(n)χ2(n) \chi^2(n)

t−t− t-distribution

设X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X \sim N(0,1),Y \sim \chi^2(n),并且X和Y独立，则称随机变量

t=XY/n−−−−√t=XY/n

t = \frac{X}{\sqrt {Y/n}}
服从自由度为n的t分布，记作 t∼t(n)t∼t(n)t \sim t(n)

t-test

One-sample

样本方差σ2σ2\sigma^2未知，关于μμ\mu的检验(t检验)

构造

t=X¯¯¯¯−μ0S/n−−√∼t(n−1)t=X¯−μ0S/n∼t(n−1)

t=\frac{\overline X-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

作为检测统计量，如果观测值过大就拒绝H0H0H_0

P{当H0为真时拒绝H0}=Pμ0{|X¯¯¯¯−μ0S/n−−√|≥k}=αP{当H0为真时拒绝H0}=Pμ0{|X¯−μ0S/n|≥k}=α

P\{当H_0为真时拒绝H_0\} = P_{\mu_0}\{ |\frac{\overline X-\mu_0}{S/\sqrt{n}}|\ge k\} = \alpha

如图1可知，当H0H0H_0为真时，监测统计量位于阴影部分的概率时αα\alpha(显著性水平，特别小的值)，所以如果此事发生(也就是检测统计量的值位于阴影处时)，就可以认为原假设时错误的，而拒绝H0H0H_0

问题1:matlab中的ttest返回的p_value表示的含义?

returns the p-value, i.e., the probability of observing the given result, or one more extreme,
by chance if the null hypothesis is true.  Small values of P cast doubt on the validity of the
null hypothesis.

形象的表示就是如图二所示，观测变量的值求出以后，红的区域的值就是P的value,而只有Pvalue<αPvalue<αP_{value}时才会拒绝原假设。

假设检验的难点在于如何通过已知量构造已知分布的检验统计量

Paired sample

一般，假设有n对相互独立的观察结果：(X1,Y1),...,(Xn,Yn),(X1,Y1),...,(Xn,Yn),(X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n),另D1=X1−Y1,D2=X2−Y2,...,Dn=Xn−Yn,D1=X1−Y1,D2=X2−Y2,...,Dn=Xn−Yn,D_1=X_1-Y_1,D_2=X_2-Y_2,...,D_n=X_n-Y_n,则D1,D2,...,DnD1,D2,...,DnD_1,D_2,...,D_n相互独立。又因为D1,D2,...,DnD1,D2,...,DnD_1,D_2,...,D_n是由同一个因素引起的，所以可以认为他们服从同一个分布。故：

H0:μD=0,H1:μD≠0H0:μD=0,H1:μD≠0

H_0:\mu_D=0,H_1:\mu_D \ne 0
则检测统计量为：

t=|d¯¯¯sD/n−−√|∼t(n−1)t=|d¯sD/n|∼t(n−1)

t = | \frac{\overline d}{s_D/\sqrt{n}} | \sim t(n-1)

matlab实现使用ttest：

ttest  One-sample and paired-sample t-test.

Unpaired(Independent) sample

检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.假设X1,X2...Xn1X1,X2...Xn1X_1,X_2...X_{n_1}是来自分布N(μ1,σ2)N(μ1,σ2)N(\mu_1,\sigma^2)的样本，Y1,Y2,...,Yn2Y1,Y2,...,Yn2Y_1,Y_2,...,Y_{n_2}是来自正态总体N(μ2,σ2)N(μ2,σ2)N(\mu_2,\sigma^2),且设两样本独立。

H0:μ1−μ2=σ,H1:μ1−μ2≠σH0:μ1−μ2=σ,H1:μ1−μ2≠σ

H_0 : \mu_1-\mu_2=\sigma,H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \sigma

故

t=(X¯¯¯¯−Y¯¯¯¯)−σSw1n1+1n2−−−−−−√,其中S2w=(n1−1)S21+(n2−1)S22n1+n2−2t=(X¯−Y¯)−σSw1n1+1n2,其中Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2

t = \frac{(\overline X-\overline Y)-\sigma}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}, \\ 其中S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}
易知：

t∼t(n1+n2−2)t∼t(n1+n2−2)

t \sim t(n_1+n_2-2)

matlab中实现时使用ttest2

ttest2默认是X和Y的方差时相等的，可以通过Vartype:unequal改成方差不相等。

'equal' Conduct test using the assumption that x and y are from normal distributions with unknown but equal variances.
'unequal'   Conduct test using the assumption that x and y are from normal distributions with unknown and unequal variances. This is called the Behrens-Fisher problem. ttest2 uses Satterthwaite's approximation for the effective degrees of freedom.
Vartype must be a single variance type, even when x is a matrix or a multidimensional array.Example: 'Vartype','unequal'

不相等的情况下被称为Behrens-Fisher problem,优化方式可参看wiki

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