有关“重要极限”的经典例题

一、两个极限存在准则、两个重要极限

1、极限存在准则

夹逼定理（数列和函数极限都适用）、单调有界数列必收敛

对于第二条定理，当运用于函数时需要满足：趋近于无穷时，函数连续且处处有定义

例如：

若f(x)从某一X开始，当x>X时，在区间(x,+∞)满足f(x)连续且单调有界，则 $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$ 存在。

注意哦，在某一区间连续的话那在该区间可一定是有定义的。

（-∞,X）的情况同理。

可以进一步思考，函数f(x)在某一点的极限只与该点领域内的函数值有关，与该点的函数值和离该点较远的函数值无关。

2、两个重要极限

$(1)\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}= e\quad\quad\quad (2)\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{sinx}{x}=1$

需要说明的是，两个重要极限是通过两个极限存在准则推出来的。

二、经典的错误，标准的零分

求极限：

$\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}(1+\frac{1}{x}){^{x{^{2}}}}$

如果考虑到重要极限，求解过程如下：

$\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}(1+\frac{1}{x}){^{x{^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}(1+\frac{1}{x}){^{x\cdot x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}e{^{x}}=1$

这就是“经典的错误，标准的零分”

原因如下：在利用重要极限求解时，我们把右边的乘积项看作一个整体运用重要极限求解，这就相当于把两个乘积项分分开来单独求极限。而极限的运算法则需要两个乘积项的极限同时存在才可以说乘积的极限等于极限的乘积。注意在x趋近于∞时， ${\color{red}\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}}$ 不存在！！！

这里再插一嘴：在求解类似于arctan、幂指数趋近于无穷时的极限时，要注意分别讨论＋∞和－∞

如果有小伙伴说，那咱们让x趋近于＋∞可以吗？

答案是：也不行！

如果x趋近于正无穷，那么乘积项的第二项极限不存在

同理，如果x趋近于负无穷，那么乘积项的第一项极限不存在

因此，就算的单边极限的情况下，求解这个极限也不可以使用重要极限。

三、经典的答案，标准的满分

在求解有关幂指数函数的极限时，最为朴实无华的解法莫过于通过e取对数化为指数函数(<---yyds)

$\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}(1+\frac{1}{x}){^{x{^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}e{^{x{^2}ln(1+x)}}=\lim_{x\rightarrow \infty}e{^{-x}}e{^{x{^2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x{^{2}}}+o(\frac{1}{x{^{2}}}))}}=e{^{-\frac{1}{2}}}$

此题要点就是：两个乘积项的极限不存在，在求解过程中始终把这两个乘积项看作一个整体。

如果所求极限单单是一个可以用重要极限的整体因子，那么必然可以放心大胆地去配重要极限。

如果所求极限像上面那道题一样，可以配重要极限的只是某一个局部乘积因子，那在使用重要极限的时候，就要三思而后行。

哦对了，还没结束，再插一嘴，我们来说说通过e取对数化为指数函数的原理

定理：如果f(x)、g(x)极限存在，且满足： $\lim_{}f(x)=A>0\quad\quad\lim_{}g(x)=B$ 则有：

$\lim_{}f(x){^{g(x)}}=A{^{B}}$

所以在遇到求解一个幂指数函数的极限时，化为底为常数e的指数函数，此时e对应于上式的f(x)，满足大于0的条件，我们再只需求对应g(x)部分的极限即可。