数学笔记25——弧长和曲面面积
积分的概念来源于实际应用。对一个函数积分可以理解为求曲线下的面积,但积分的作用不仅仅如此。作为牛顿一生最伟大的发明,有了积分,我们就可以去计算曲线的弧长,可以去求区域的面积,也可以去计算很多物理问题。
弧长
弧长的定义
曲线上两点之间的曲线长度称为弧长,现在我们试图用积分定义弧长。
将上图的曲线分为n段,用直线连接相邻的两点,当Δx→0时,两点间的线段长度趋近于弧长:
将s定义为弧长,则:
用微分表示上式,可以去掉约等号:
习惯上,上式去掉括号:
其它两种常见的变形:
由此得到a、b两点间弧长的表达式:
线性函数的弧长
如果有曲线y = mx,则y’ = m, ,曲线在0 ≤ x ≤ 10处的弧长:
如上图所示,可以抛开积分直接计算两点间的弧长,其结果和积分运算相等。对于这个例子来说,结果是显然的,但是其表达的含义是:如果我们能对线性函数推导出这些公式,那么微积分也能告诉我们应该怎么做。微积分的思想就存在于这个简单的,甚至不需要微积分计算的过程中。所有这些工具,微分、积分、极限,可以应对任何曲线,因为我们将曲线分割成了无限小,这就是建立积分的思想。
单位圆的弧长
计算下图单位圆上的弧长s:
单位圆中:
根据弧长公式:
接下来就是求解积分的问题。
也可以写成:a = sins
在单位圆中,弧长s = 弧长夹角θ,a = rsinθ = sinθ,上面的计算结果与定义相同。
抛物线的弧
求曲线y = x2在x∈[0, a]上的弧长。
接下来是求解积分问题,令x = tanθ/2
令u = secθ, v’ = sec2θ, v = tanθ, u’ = secθtanθ
最终弧长:
曲面面积
求解方法
曲线y = x2绕x轴旋转一周,求在x在[0, a]上,立体图形的外表面积。
图形类似于喇叭口,可以使用圆盘法求解,只是将dx换成ds,上图中圆盘的表面积:
总面积:
这个复杂的积分还是交给计算机吧。
球面面积
可以将球看作为半径为a的半圆y2 + x2 = a2绕x轴旋转一周形成的图形,计算x在[x1, x2]处形成圆盘的球面面积:
整个球体的表面积:
结果与球体表面积公式一致。
综合示例
示例1
计算y = x3/2在0 ≤ x ≤ 4处的弧长。
y = x3/2
示例2
如下图所示,求圆心为R,半径为r的圆绕y轴旋转一周形成的环的表面积
由于是绕y轴旋转,表面积的微分是da = 2πxds,接下来就是如何求解ds和da的积分。
上半圆的表面积:
又是求解积分的问题了,令u = x - R
令u = rsint,du = rcostdt;u的取值范围是[r, -r],所以t的取值范围是[π/2, -π/2]
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