抽象代数笔记-环、域、扩域、伽罗瓦理论

【参考资料】
【1】http://www.sohu.com/a/138917230_614662
【2】《近世代数基础》
【3】《从一元一次方程到伽罗瓦理论》
【4】https://baike.baidu.com/item/伽罗瓦预解式/18918113

环

存在一个集合K，同时有加法+++和乘法⋅\cdot⋅，
1 (K,+)(K, +)(K,+)构成交换群；
2 (K,⋅)(K, \cdot)(K,⋅)构成半群；
3 如果同时考虑(K,+,⋯ )(K, +, \cdots)(K,+,⋯)，满足左右分配率；
我们称这个代数结构为环。

如果(K,⋅)(K, \cdot)(K,⋅)满足交换律ab=ba，则称为交换环。
如果这个交换环中的(K,⋅)(K, \cdot)(K,⋅)还满足消去率，即cb=ca => b=a，则我们称之为整环。

半群是没有幺元和逆元的群

域

对于整环(F,+,⋅)(F,+,\cdot)(F,+,⋅)至少有两个元，且F中每一个非零元都有逆元，则称之为域。

对于非零元存在逆，本质上可以理解为域上有除法，那么域上就是一个满足了加、减、乘、除四则运算的代数结构？

扩域

扩域是指在某个数域上加上几个不属于该数域的元素，记为E/F。

比如我们在有理数域Q上加上2\sqrt{2}2，那么这个属于就称为Q(2)Q\frac{Q(\sqrt{2})}{Q}QQ(2)。对于新集合来说除了增加了2\sqrt{2}2外，当然也包含2\sqrt{2}2参与运算后所产生的其他数。

注意此时我们构造了一个比有理数域Q大，但比实数域R小的新数域。

定义: a叫作域F上的一个代数元，假如存在属于F的都不为零的元a0,a1,a2,....,ana_0, a_1, a_2, ...., a_na0,a1,a2,....,an，使得成立如下一个代数方程:
a0+a1a+...+anan=0a_0 + a_1a + ... + a_n a^n = 0a0+a1a+...+anan=0
假如这样的a0,a1,a2,....,ana_0, a_1, a_2, ...., a_na0,a1,a2,....,an不存在，a就叫F上的一个超越元。其扩域F(a)分别称为单代数扩域和单超越数扩域。

m式扩域：在属于F中找一个数开m次方，然后加进这个数域；
根式塔：通过m式扩域从F开始不断扩域，存在F⊆F1⊆F2...FnF \subseteq F_1 \subseteq F_2... F_nF⊆F1⊆F2...Fn

伽罗瓦对于根式可解的定义：如果一个方程的全部系数包含在域F中，全部根包含在E中，那么有解的情况式指E包含在F扩域形成的根式塔中。

我们称根式塔为一个域列。

正规扩域

定义:E是F的一个有限扩域，且f(x)∈F(x)f(x) \in F(x)f(x)∈F(x)是任意一个不可约多项式，则E含有f(x)的一个根，就含有其他根，称为E是F的一个正规扩域。

例如:g(x)=x2−2x−1∈Q[x]g(x) = x^2 -2x-1 \in Q[x]g(x)=x2−2x−1∈Q[x]，它的一个根1−21-\sqrt{2}1−2属于扩域
Q(2)Q(\sqrt{2})Q(2)，那么另外一个根1+21+\sqrt{2}1+2也同样属于这个扩域。

具有性质：如果E是F的一个正规扩，那么E必定是F上某个多项式的根域。

伽罗瓦群

我们定义一个数域E的自同构映射，并把所有这个E上的自同构映射记为Aut(E), 定义一个乘法，即σ1⋅σ2\sigma_1 \cdot \sigma_2σ1⋅σ2为其复合，即σ1(σ2)\sigma_1(\sigma_2)σ1(σ2)，可以证明上述代数结构是一个群。

注意这里从域开始又回到群：）

伽罗瓦群:E/F是扩域，（E是根的域、F是系数的域），我们定义Aut(E)的一个子集，E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。

可解群

设G是一个有限群，如果G存在一个子群列G=G0⊳G1⊳G2...⊳Gr={e}G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 ... \rhd G_r = \{e\}G=G0⊳G1⊳G2...⊳Gr={e}，其中e是G的单位元，使得每个商群Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}Gi/Gi+1都是可换群，则称其为G的一个可解群列。

这里G0⊳G1G_0 \rhd G_1G0⊳G1表示G1G_1G1是G0G_0G0的一个正规子群

伽罗瓦理论针对多项式根式可解

方程在特征为0的域上能用根式解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。

PS: 这步的推导完全看不懂。。。。。

例如:

三次多项式方程的加瓦罗群G同构与S3S_3S3，又因为G=S3⊳A3⊳{e}G=S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\}G=S3⊳A3⊳{e}是一个可解群列。