学习笔记-频率域滤波(2)-取样函数

取样函数

取样
取样后函数的傅里叶变换
混叠

取样

以自变量 ttt 的均匀间隔 ΔT\Delta TΔT 对函数 f(t)f(t)f(t) 进行取样。等效于将 f(t)f(t)f(t) 乘上一个冲激串：
f~(t)=f(t)sΔT(t)=∑n=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-n\Delta T)f~(t)=f(t)sΔT(t)=n=−∞∑∞f(t)δ(t−nΔT)
此取样序列的任意一个取样值 fkf_kfk 由积分给出：
fk=∫−∞∞f(t)δ(t−kΔT)dt=f(kΔT)f_k=\int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-k\Delta T)\mathrm dt=f(k\Delta T)fk=∫−∞∞f(t)δ(t−kΔT)dt=f(kΔT)

取样后函数的傅里叶变换

由卷积定理，空间域中两个函数乘积的傅里叶变换是两个函数在频域中的卷积。设 f(t)f(t)f(t) 的傅里叶变换为 F(μ)F(\mu)F(μ)，而取样后的函数 f~(t)\tilde{f}(t)f~(t) 是 f(t)f(t)f(t) 和冲激串的乘积。于是：
F~(μ)=ℑ{f~(t)}=ℑ{f(t)sΔT(t)}=(F⋆S)(μ)\tilde{F}(\mu)=\Im\{\tilde{f}(t)\}=\Im\{f(t)s_{\Delta T}(t)\}=(F\star S)(\mu)F~(μ)=ℑ{f~(t)}=ℑ{f(t)sΔT(t)}=(F⋆S)(μ)
上一节我们有：
S(μ)=1ΔT∑n=−∞∞δ(μ−nΔT)S(\mu)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\mu-\frac{n}{\Delta T}\right)S(μ)=ΔT1n=−∞∑∞δ(μ−ΔTn)
于是：
F~(μ)=(F⋆S)(μ)=∫−∞∞F(τ)S(μ−τ)dτ=1ΔT∫−∞∞F(τ)∑n=−∞∞δ(μ−τ−nΔT)dτ=1ΔT∑n=−∞∞∫−∞∞F(τ)δ(μ−τ−nΔT)dτ=1ΔT∑n=−∞∞F(μ−nΔT)\begin{aligned} \tilde{F}(\mu) &=(F\star S)(\mu)=\int_{-\infty}^\infty F(\tau)S(\mu-\tau)\mathrm d\tau \\[4ex] &=\frac{1}{\Delta T}\int_{-\infty}^\infty F(\tau)\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T}\right)\mathrm d\tau \\[4ex] &=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty F(\tau)\delta\left(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T}\right)\mathrm d\tau \\[4ex] &=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^\infty F\left(\mu-\frac{n}{\Delta T}\right) \end{aligned}F~(μ)=(F⋆S)(μ)=∫−∞∞F(τ)S(μ−τ)dτ=ΔT1∫−∞∞F(τ)n=−∞∑∞δ(μ−τ−ΔTn)dτ=ΔT1n=−∞∑∞∫−∞∞F(τ)δ(μ−τ−ΔTn)dτ=ΔT1n=−∞∑∞F(μ−ΔTn)
这表明取样后的傅里叶变换 F~(μ)\tilde{F}(\mu)F~(μ) 是原函数傅里叶变换 F(μ)F(\mu)F(μ) 的一个周期的副本序列，周期间隔为 1ΔT\frac{1}{\Delta T}ΔT1。

设有带限函数 f(x)f(x)f(x) 最大频率为 μmax\mu_{max}μmax，其傅里叶变换 F(μ)F(\mu)F(μ) 及取样函数傅里叶变换 F~(μ)\tilde{F}(\mu)F~(μ) 如下图所示：

于是我们可以对采样函数的傅里叶变换取出一个周期，得到原函数的傅里叶变换副本。但限制也如上图所示，采样频率需大于原信号频率的两倍。即取样定理。这个采样频率称为奈奎斯特率。
1ΔT>2μmax\frac{1}{\Delta T}>2\mu_{max}ΔT1>2μmax

混叠

混叠来源于对信号的欠采样，从图片中更容易看出。两个信号具有同样的采样结果。