多元函数微分学

一、基本概念

需要熟练掌握概念的描述，容易考选择题。

1.平面点集的概念

正向证明有点难，可以反向证伪

2.极限

lim⁡x→x0,y→y0(x,y)=A\lim_{x\to x_0,y\to y_0}(x,y) = Ax→x0,y→y0lim(x,y)=A
多元微分下洛必达、泰勒展开、单调有界准则不可用
并且极限会排除不存在的路径，要求的是每个方向的极限都存在并且相等
因此求极限是否存在，关键在于是否存在特殊路径，使得极限不一致

3.连续

lim⁡x→x0,y→y0(x,y)=f(x0,y0)\lim_{x\to x_0,y\to y_0}(x,y) = f(x_0,y_0)x→x0,y→y0lim(x,y)=f(x0,y0)
如果f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上有界

4.偏导数

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)+f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)+f(x_0,y_0)}{\Delta x}Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)+f(x0,y0)
存在，则称此为极限f(x,y)对x的偏导
TIPS

二阶偏导数fxy′f(x,y)f'_{xy}f(x,y)fxy′f(x,y)和fyx′f(x,y)f'_{yx}f(x,y)fyx′f(x,y)是同样的
在f(x,y0)=0f(x,y_0)=0f(x,y0)=0的情况下，fx′(x,y0)=[f(x,y0)]x′=fx′(x,y)∣y=y0f'_x(x,y_0)=[f(x,y_0)]'_x=f'_x(x,y)|_{y=y_0}fx′(x,y0)=[f(x,y0)]x′=fx′(x,y)∣y=y0
注意：多元微分中的∂z∂x\frac{∂z}{∂x}∂x∂z不可拆分看成∂z∂z∂z除以∂x∂x∂x，这和一元函数中的dzdx\frac{dz}{dx}dxdz不一样，数值上∂z∂x\frac{∂z}{∂x}∂x∂z和Fx′Fz′\frac{F'_x}{F'_z}Fz′Fx′一样

5.偏导数连续

对于z=f(x,y)讨论在某特殊点(x₀,y₀)是否连续，其步骤为：

用定义法求fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)f'_x(x_0,y_0), f'_y(x_0,y_0)fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)
用公式法求fx′(x,y),fy′(x,y)f'_x(x,y), f'_y(x,y)fx′(x,y),fy′(x,y)
计算lim⁡x→x0,y→y0fx′(x,y)\lim_{x\to x_0, y\to y_0}f'_x(x,y)limx→x0,y→y0fx′(x,y)和lim⁡x→x0,y→y0fy′(x,y)\lim_{x\to x_0, y\to y_0}f'_y(x,y)limx→x0,y→y0fy′(x,y)，分别比较是否和fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)f'_x(x_0,y_0), f'_y(x_0,y_0)fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)相等，如果相等则在点(x₀,y₀)处偏导数连续
∂x和dx的区别是什么？

TIPS:求极限的时候，可以将极限已确认的部分提出用于简化计算

6.可微分

全增量减去各个自变量的偏增量部分的极限为0则可微分
求可微的步骤：

写出全增量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
写出线性增量AΔx+BΔyA\Delta x+B\Delta yAΔx+BΔy，其中Δx=fx′(x0,y0),Δy=fy′(x0,y0)\Delta x=f'_x(x_0,y_0),\Delta y=f'_y(x_0,y_0)Δx=fx′(x0,y0),Δy=fy′(x0,y0)
作极限lim⁡Δx→x0,Δy→y0Δz−(AΔx+BΔy)(Δx)2+(Δy)2\lim_{\Delta x \to x_0, \Delta y \to y_0}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}Δx→x0,Δy→y0lim(Δx)2+(Δy)2Δz−(AΔx+BΔy)如果极限为0，则可微，反之则不可微

TIPS：在第3步判断是否可微的时候，如果最后的结果有两个变量不好计算，可以取特殊路径，比如令x→x0,y→kxx\to x_0, y\to kxx→x0,y→kx

二、多元微分计算

2.1复合函数求导法

1.链式求导规则

2.全导数

3.全微分形式不变性

比如对于y=f(u), u=g(x)，有yx′=yu′⋅ux′y'_x=y'_u\cdot u'_xyx′=yu′⋅ux′，也可以表示为：dy=yu′du=yx′dxdy=y'_udu=y'_xdxdy=yu′du=yx′dx，这个是一元微分的不变性

全微分形式不变指出：全微分既可以用最终变量表示，也可以用中间变量表示。这使得微分的表示不一定要用最终的x,y表示，也可以用中间变量u，v表示，从而隐藏了一部分复杂的关系细节，在复合关系难以理清的时候，可以使用。

2.2 隐函数求导法

1.一个方程的情形（公式法）

此法又称为隐函数存在定理
设F(x,y,z)=0,在点P₀(x₀,y₀,z₀)处满足F(P0)=0F(P_0)=0F(P0)=0并且Fz′(P0)≠0F'_z(P_0)\neq 0Fz′(P0)=0则在P₀的某邻域内可确定z=z(x,y)并且有
∂z∂x=−Fx′Fz′，∂z∂y=−Fy′Fz′\frac{∂z}{∂x}=-\frac{F'_x}{F'_z}，\frac{∂z}{∂y}=-\frac{F'_y}{F'_z}∂x∂z=−Fz′Fx′，∂y∂z=−Fz′Fy′

2.方程组情形

3.方法和总论

多元微分的计算的三大基本思路是：1.链式求导规则2.隐函数存在定理（公式法）还有3.全微分形式不变性
隐函数定理：由隐函数推导出普通函数及其微分的定理
对于一般的多元微分计算，考虑三种方法：公式法、全微分、偏微分求导法
TIPS：

对于难以求偏导的，可以使用先代入具体点，后求解。这一点不只是可以用于一阶求导，也可以在知道一阶导数，但是二阶导数求导十分复杂时用于简化二阶导数式子。这种方法可用范围十分广泛，包括隐函数都能用
幂指函数多元微分：换元法、对数化（两边加ln）、指数化
对于拉格朗日乘数法求条件极值仍需要加强理解，以及30讲练习11.5
如果出现微分难以计算，可以试试交换下求导次序
对于一些求微分的题目，可以试试将其转化为隐函数然后使用公式法，可能会更快
注意：多元微分中的∂z∂x\frac{∂z}{∂x}∂x∂z不可拆分看成∂z∂z∂z除以∂x∂x∂x，这和一元函数中的dzdx\frac{dz}{dx}dxdz不一样，数值上∂z∂x\frac{∂z}{∂x}∂x∂z和Fx′Fz′\frac{F'_x}{F'_z}Fz′Fx′一样

三、极值和最值问题

三大考察点：概念、无条件极值、有条件极值

3.1 无条件极值

先找必要条件：
点X₀(x₀,y₀)使得f’_x(x₀,y₀)=f’_y(x₀,y₀)=0，则点X₀为驻点，是可能的极值点
再找充分条件
令
{fxx′′(x0,y0)=A>0fxy′′(x0,y0)=fyx′′(x0,y0)=Bfyy′′(x0,y0)=C\left\{ \begin{aligned} f''_{xx}(x_0,y_0) & = A>0 \\ f''_{xy}(x_0,y_0) & = f''_{yx}(x_0,y_0)=B \\ f''_{yy}(x_0,y_0) & = C \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)fxy′′(x0,y0)fyy′′(x0,y0)=A>0=fyx′′(x0,y0)=B=C

当Δ=AC−B2>0\Delta=AC-B^2>0Δ=AC−B2>0并且fxx′′>0f''_{xx}>0fxx′′>0时，f(x0,y0)f(x_0,y_0)f(x0,y0)为极小值
当Δ=AC−B2>0\Delta=AC-B^2>0Δ=AC−B2>0并且fxx′′<0f''_{xx}<0fxx′′<0时，f(x0,y0)f(x_0,y_0)f(x0,y0)为极大值
当Δ=AC−B2<0\Delta=AC-B^2<0Δ=AC−B2<0并且fxx′′<0f''_{xx}<0fxx′′<0时，(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)非极值点

3.2 条件极值拉格朗日乘数法

不需要将详细计算过程写到卷子上，列出方程组直接写解之
TIPS：轮换对等性、全微分不变性

四、偏微分方程

考题类型：

已知偏导数表达式，求z=f(x,y)
给出变换，话已知偏微分方程位常微分方程，求f(u)

二重积分

一、概念

1.和式极限

在长方形区域[a,b]x[c,d]上的二重积分为：
lim⁡n→∞∑i=1n∑i=1nf(a+b−ani,c+d−cnj)∗b−an∗d−cn\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^n f(a+\frac{b-a}{n}i, c+\frac{d-c}{n}j)*\frac{b-a}{n}*\frac{d-c}{n}n→∞limi=1∑ni=1∑nf(a+nb−ai,c+nd−cj)∗nb−a∗nd−c

2.普通对称性

3.轮换对称性

TIPS：上述的注十分重要，轮换对称性经常结合基本不等式考察。并且在某些情况下，一元函数f(x)可以通过二元化化成g(x,y)然后使用轮换对称性加基本不等式（强化30讲例题14.598）

轮换对称性和积分区域关于y=x对称的区别在于：轮换对称性强调的是被积函数交换x,y之后，积分是否不变，而y=x强调的是，被积函数交换x,y之后，积函数是否相等

4.二重积分中值定理

设函数f(x,y)在比区域D上连续，σ\sigmaσ是D的面积，则在D上至少存在一点(a,b)使得∬Df(x,y)dσ=f(a,b)σ\iint_D f(x,y)d\sigma=f(a,b)\sigma∬Df(x,y)dσ=f(a,b)σ

5.周期性

如果化成累次积分之后，一元积分有周期性机会，则可以化简计算
典型：设D=(x,y)∣0≤x≤π,0≤y≤πD={(x,y)|0 \leq x\leq \pi ,0 \leq y\leq \pi}D=(x,y)∣0≤x≤π,0≤y≤π则
I=∫0π∣cos(x+y)∣dσ=∫0πdx∫0π∣cos(x+y)∣dy=∫0π∫0π∣cosy∣dydxI = \int_{0}^{\pi}|cos(x+y)|d\sigma = \int_{0}^{\pi}dx\int_{0}^{\pi}|cos(x+y)|dy = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}|cosy|dydxI=∫0π∣cos(x+y)∣dσ=∫0πdx∫0π∣cos(x+y)∣dy=∫0π∫0π∣cosy∣dydx

二重积分的计算

后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限

1.直角坐标系

2.极坐标系和换序

3.直极互化

TIPS：

首先考虑一般对称性和轮换对称性
接着考虑是否需要交换积分次序，对需要交换积分次序的函数保持敏感
然后考虑是否需要进行极坐标和直角坐标的转化
难以求解的一重积分可以使用轮换对称性将其化为二重积分，然后简化求解过程。比如30讲练习12.9和12.10
常见结论：∫0+∞e−x2dx=π2\int_{0}^{+∞}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}∫0+∞e−x2dx=2π

【高等数学】四.多元函数微分学和二重积分相关推荐

10.0.高等数学四-多元函数的泰勒公式（二元函数二阶导数海赛矩阵）
多元函数的泰勒公式问题引入海赛矩阵海赛矩阵定义(二元函数的二阶导数) 推广到n元函数的海赛矩阵例1 例2 定理1 麦克劳林公式二阶导数二元函数的拉格朗日中值公式(一阶) 例3 一阶带拉格朗 ...
2020张宇1000题【好题收集】【第四章：多元函数微分学】【第五章：二重积分】
文章目录多元函数微分学基本知识概念(感觉概念题还挺难的) 4.1[先代值后求导] 4.2 4.3 (1)是否连续,说明理由 (2)偏导数是否存在? (3)是否可微 4.4(打星) (1)偏导数存 ...
高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅰ）
高等数学笔记-乐经良老师第八章多元函数微分学(Ⅰ) 第一节多元函数的基本概念一.平面点集 01 邻域点到点的距离在二维空间中,点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0) ...
三元函数的几何图形一般是_多元函数微分学_高等数学习题与答案_doc_大学课件预览_高等教育资讯网...
第十章多元函数微分学多元函数的极限及连续性思考题: 1,将二元函数与一元函数的极限.连续概念相比较,说明二者之间的区别. 答:二元函数与一元函数的极限都是表示某动点以任意方式无限靠近定点时,与之 ...
高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅱ）
高等数学笔记-乐经良老师第八章多元函数微分学(Ⅱ) 第五节多元复合函数的微分法一.复合函数的偏导数链法则函数 u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) u=u(x ...
考研：研究生考试(十五天学完)之《高等数学上/下册》研究生学霸重点知识点总结之考试内容各科占比及常考知识重点梳理(函数极限连续、一元/多元函数微分学/积分学、常微分函数、向量代数与空间几何、无穷级数)
考研:研究生考试(十五天学完)之<高等数学上/下册>研究生学霸重点知识点总结之考试内容各科占比及常考知识重点梳理(函数极限连续.一元/多元函数微分学/积分学.常微分函数.向量代数与空间几何 ...
高等数学----多元函数微分学的难点重点详细思考
高等数学----多元函数微分学的难点重点详细思考简介本节主要对自己在多元函数微分上遇到的难题和知识点,希望能帮助到考研的人,更希望有缘人觉的有用点赞和关注么么哒,我会一直更新内容,大家有不懂的可以 ...
多元函数概念思维导图_高等数学多元函数微分学知识技巧思维导图 [21考研上岸之旅]...
Hello World,我的朋友,这里是一颗小白蛋,大千世界,很高兴以这样的方式与你相遇前言好久不见,这一次给大家带来考研高数的中多元函数微分学的相关内容. 2021张宇基础30讲 +2020汤家 ...
高等数学多元函数微分学知识技巧思维导图 [21考研上岸之旅]
Hello World,我的朋友,这里是一颗小白蛋,大千世界,很高兴以这样的方式与你相遇前言好久不见,这一次给大家带来考研高数的中多元函数微分学的相关内容. 2021张宇基础30讲 +2020汤家 ...
程序员的数学【多元函数微分学】
目录前言一.多元函数的定义二.偏导数三.高阶偏导数四.梯度五.雅可比矩阵 5.1 雅克比矩阵定义 5.2 雅克比矩阵示例六.Hessian矩阵 6.1 Hessian矩阵定义 6.2 实 ...

【高等数学】四.多元函数微分学和二重积分