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串（string）的定义与表示查看

串的模式匹配算法

求子串位置的定位函数 Index(S, P, pos)
求子串的定位操作通常称作串的模式匹配（其中子串P称为模式串）。

算法1：朴素模式匹配算法/简单匹配算法（Brute-Force算法，简称BF算法）

从目标主串s=“s1s2…sn”s=“s_1s_2…s_n”s=“s1s2…sn”的第一个字符开始和模式串p=“p1p2…pm”p=“p_1p_2…p_m”p=“p1p2…pm”中的第一个字符比较,若相等,则继续逐个比较后续字符；否则从目标主串s的第二个字符开始重新与模式串p的第一个字符进行比较。依次类推,若从目标串s的第i个字符开始,每个字符依次和模式串p中的对应字符相等,则匹配成功,该算法返回i；否则,匹配失败,函数返回0。

实现代码：

// ——————————串的定长顺序存储表示————————————————
#define MAXSTRLEN 255     //最大串长
typedef char SString[MAXSTRLEN+1];// C语言实现
int index(SString s, SString t, int pos){// t非空， 1 <= pos <= strlen(s)int i = pos;int j = 0;int sLen = strlen(s);int tLen = strlen(t);while(i < sLen && j < tLen){if(s[i] == t[j]){i++;j++;}else{i = i - j + 2;j = 1;}}if(j >= tLen){return i - tLen;}else{return 0;}
}// C++实现
int index2(string s, string t, int pos){// t非空， 1 <= pos <= Strlength(s)int i = pos;int j = 0;int sLen = s.length();int tLen = t.length();while(i < sLen && j < tLen){ // s[0]、t[0]为串长度if(s[i] == t[j]){i++;j++;}else{i = i - j + 2;j = 1;}}if(j >= tLen){return i - tLen;}else{return 0;}
}

源代码：github地址（其中有详细注释）

朴素模式匹配算法的时间复杂度分析
主串长n；子串长m。可能匹配成功的位置(1 ~ n-m+1)。

最好的情况下，
第i个位置匹配成功，比较了（i - 1 + m）次，平均比较次数：
最好情况下算法的平均时间复杂度O(n+m)。
最坏的情况下，
第i个位置匹配成功，比较了（i * m）次，平均比较次数：
设 n >> m，最坏情况下的平均时间复杂度为O(n * m)。

算法2：朴素模式匹配算法的改进算法：KMP算法

KMP算法是 D.E.Knuth、J.H.Morris 和 V.R.Pratt 共同提出的，简称KMP算法。该算法较BF算法有较大改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
当主串的第 i 个字符与子串的第 j 个字符失配时，若主串的第 i 个字符前的 ( k - 1 ) 个字符与子串的前 ( k -1 ) 个字符匹配，则只需主串的第 i 个字符与子串的第 k 个字符开始向后比较即可，i 不必回溯。

为此,定义 next[] 数组，表明当模式中第 j 个字符与主串中相应字符“失配”时，在模式串中需重新和主串中该字符进行比较的字符的位置 k，即next[j]=knext[j] = knext[j]=k。
实现代码：

 // KMP，C语言实现
int indexKMP(SString s, SString t, int pos){int i = pos;int j = 0;int sLen = strlen(s);int tLen = strlen(t);int next[tLen] = {0};getNext(next, t, pos); // 求next数组//getNextImprov(next, t, pos); // 使用改进的算法求next数组，根据需要选择for(int x=0; x<tLen; x++){cout << next[x] << endl;}while(i < sLen && j < tLen){if(j < 0 || s[i] == t[j]){ // 若匹配，或t已移出最左侧i++;j++;}else{j = next[j]; // 和BF算法的区别在此}}if(j >= tLen){return i - tLen;}else{return 0;}
}

next[]数组的生成与主串无关，只和模式子串自身有关。

以下为next函数的定义与求法（注意：此处的主串和模式子串都是从下标0开始的，与书上的不一样）

求next[]数组算法步骤：

初始next[0]=−1next[0] = -1next[0]=−1 表明主串从下一字符si+1s_{i+1}si+1起和模式串重新开始匹配。因此i=i+1;j=0;i = i+1; j = 0;i=i+1;j=0;
设next[j]=knext[j] = knext[j]=k，求next[j+1]next[j+1]next[j+1] ：
　● 若 pk=pjp_k=p_jpk=pj ,即p[j]=p[next[j]]p[j] = p[next[j]]p[j]=p[next[j]]，则有“p1…pk−1pk”=“pj−k+1…pj−1pj”“p_1…p_{k-1}p_k”=“p_{j-k+1}…p_{j-1}p_j”“p1…pk−1pk”=“pj−k+1…pj−1pj” ，且不存在k′>kk'>kk′>k满足该等式，因此next[j+1]=k+1=next[j]+1next[j+1] = k+1 = next[j]+1next[j+1]=k+1=next[j]+1。
　● 若 pk≠pjp_k ≠ p_jpk̸=pj，则令 p[j]p[j]p[j] 和 p[next[next[j]]]p[next[next[j]]]p[next[next[j]]] 比较；
　　　○ 若相等，则 next[j+1]=next[next[j]]+1next[j+1] = next[next[j]]+1next[j+1]=next[next[j]]+1；
　　　○若不等，则沿失败链继续查找，直到某个 p[next[...next[j]...]]==p[j]p[next[...next[j]...]] == p[j]p[next[...next[j]...]]==p[j]，或 next[...next[j]...]==−1next[...next[j]...]==-1next[...next[j]...]==−1，这时都置 next[j+1]=next[...next[j]...]+1next[j+1] = next[...next[j]...]+1next[j+1]=next[...next[j]...]+1。

实现代码：

// 生成next数组，C语言实现
void getNext(int next[], SString t, int pos){int i = pos;int j = -1;int tLen = strlen(t);next[0] = -1;while( i < tLen-1){if( j < 0 || t[i] == t[j]){ // 初始或匹配i++;j++;next[i] = j;}else{j = next[j];}}
}

改进求 next[] 数组算法步骤的思路：
上述求 next 数组的步骤在模式串中相同的子串较多的情况下存在着缺陷。
如主串 ′aaabaaaab′'aaabaaaab'′aaabaaaab′ 在和模式子串 ′aaaab′'aaaab'′aaaab′ 匹配时，当 i=3、j=3i=3、j=3i=3、j=3 时，′a′!=′b′'a' != 'b'′a′!=′b′，如下图，由 KMP 算法可知，由 next[j]next[j]next[j] 的指示，接下来还会进行 i=3、j=2，i=3、j=1，i=3，j=0i=3、j=2， i=3、j=1，i=3，j=0i=3、j=2，i=3、j=1，i=3，j=0 这3次比较。实际上，因为模式中第0、1、2个字符和第3个字符都相等，因此不需要再和主串中第3个字符相比较，可以将模式一气向右移动4个字符的位置直接进行 i=4、j=0i=4、j=0i=4、j=0 时的字符比较。
也就是说，在之前求next方法的基础上，需要再加上一个判断：
p[j]?=p[k]p[j] ?= p[k]p[j]?=p[k]，若相等，则 next[j]=next[k]next[j] = next[k]next[j]=next[k]，否则，next[j]=knext[j] = knext[j]=k。

再举两个生成next数组的例子：

下面的例子包含了求next[j]的过程，理解该过程时暂不需要看"改进next[j]"那一行。

改进next[j]方法的计算过程由你们自己理解和验算吧。
实现代码：

// 生成next数组的改进算法，若模式串中相同的子串较多，可以使用此方法，可提高匹配效率。C语言实现
void getNextImprov(int next[], SString t, int pos ){int i = pos;int j = -1;int tLen = strlen(t);next[0] = -1;while( i < tLen-1){if( j < 0 || t[i] == t[j]){ // 初始或匹配i++;j++;if(t[i] != t[j]){  //改进之处next[i] = j;}else{next[i] = next[j];}}else{j = next[j];}}
}

KMP算法的时间复杂度

设主串s的长度为n,模式串t长度为m,在KMP算法中求next数组的时间复杂度为O(m),在后面的匹配中因主串s的下标不减即不回溯,比较次数可记为n,所以KMP算法总的时间复杂度为O(n+m)。

由于篇幅的关系，c++实现的代码请参考：
源代码：github地址（其中有详细注释）

部分内容来源：

《数据结构（C语言版）》----严蔚敏
《数据结构》课堂教学ppt ---- 刘立芳
《数据结构算法与解析（STL版）》 ---- 高一凡

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