多重背包的二进制拆分法

在多重背包的直接拆分法中，个数为$c[i]$的物体被拆成$c[i]$种不同的物体

这样就使得物体的种类增加了很多，使得算法效率很低。

上述方法把$c[i]$拆成$c[i]$个1，于是任意选择可以表示出$1$到$c[i]$之间的所有数，从而达到多重背包的目的

想到，从$2^0,2^1,2^2,...,2^k$任意选择可以表示出$1$到$2^{k+1}-1$之间的所有数

于是就有了二进制拆分法 ：

首先找到最大的$k$，使得$\sum_{i=0}^{k}2^i<=c[i]$

令$t=\sum_{i=0}^{k}2^i$，易知，上面$k+1$个数可以组成$1$到$t$之间的任何数

那$t+1$到$c[i]$之间的数怎么表示呢？

令$p=c[i]-t$，再拆出一个p，就可以了，理由如下：

$c[i]=p+t,c[i]-1=p+t-1...$依次类推

由于$1$到$t$已经被表示，所以这样一来$1$到$c[i]$之间的每个整数都可以被表示

具体来说，就是把数量为$c[i]$的物体分为$k+2$个,它们的体积分别为$2^0*v[i],2^1*v[i],...,2^k*v[i],p$

Code:

是$POJ1742Coins$的代码，虽然会TLE，就当打了个二进制拆分法的板子叭

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define Ri register int
 5 #define il inline
 6 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 7 #define go(i,a,b) for(Ri i=a;i<=b;i++)
 8 #define yes(i,a,b) for(Ri i=a;i>=b;i--)
 9 using namespace std;
10 const int N=101,M=100001;
11 int n,m,t,p,ans,a[N],c[N];
12 bool f[M];
13 il void calc(int x)
14 {
15     t=1,p=0;
16     while(t<=x){t+=(t<<1);p++;}
17     t=x-t/3;p--;
18 }
19 int main()
20 {
21     while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n)
22     {
23         mem(f,0);ans=0;
24         go(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
25         go(i,1,n)scanf("%d",&c[i]);
26         f[0]=1;
27         go(i,1,n)
28         {
29             calc(c[i]);
30             go(j,0,p)
31             {
32                 int q=1;if(j)q*=2;
33                 yes(k,m,a[i]*q)
34                 f[k]|=f[k-a[i]*q];
35             }
36             yes(k,m,t)f[k]|=f[k-t];
37         }
38         go(i,1,m)if(f[i])ans++;
39         printf("%d\n",ans);
40     }
41     return 0;
42 }

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