谓词逻辑

命题逻辑在是具有局限性的。
命题逻辑在处理语句成分中有诸如“否”、“并”、“或”和“如果···那么···”时，取得了令人满意的结果，但人类语言比这丰富得多，我们如何处理如“存在···”， “所有···”，“在···中”，和“只有···”呢？
命题逻辑有其明显的局限性，我们需要更精确微妙的 谓词逻辑(predicate logic) 来表达判断语句，谓词逻辑也称为一阶逻辑(first-order logic)。

补充：

一阶谓词逻辑：谓词表示性质；
二阶谓词逻辑：谓词表示关系；

项

语言的项由变量、常值符号以及作用其上的函数构成。函数可以嵌套，如m(m(x))m(m(x))m(m(x))。
（此部分参考《软件形式化基础》教材）

语法分析树

谓词逻辑公式可以用语法分析树表示。

¬\neg¬、 ∀y\forall y∀y和∃y\exists y∃y绑定优先级最高;
其次为 ∧\land∧ 和 ∨\lor∨;
然后是→\to→,它是右结合的。

只要不致引起歧义，我们经常省去关于量词的括号。

谓词逻辑公式可以用语法分析树表示。例如，下图的分析树表示公式∀((P(x)→Q(x))∧S(x,y))\forall((P(x)\to Q(x))\land S(x, y))∀((P(x)→Q(x))∧S(x,y))。

自由变元和约束变元

变量和量词的引入使我们可以表达“所有”和“某些”的含义。
直观地说，为证明∀xQ(x)\forall x Q(x)∀xQ(x) 为真，相当于将x用任何可能的取值来代替，检测Q对每一个这样的代入均成立。
公式为 “真”包含两层重要的、但不同的意义。
首先，如果对涉及的所有谓词和函数符号赋以具体含义，则我们有一个模型，并可以检测在这个特定模型中公式是否为真。
例如，若一个公式是一个硬件线路要求的行为编码，那么，我们要知道是否它对线路模型是真的。其次，有时人们需要保证某个公式对所有模型都为真。
考虑关于常量c的公式P(c)∧∀y(P(y)→Q(y))→Q(c)P(c)\land \forall y(P(y)\to Q(y))\to Q(c)P(c)∧∀y(P(y)→Q(y))→Q(c)。显然，无论考虑什么样的模型，这个公式都应该是真的。公式为真的第二层含义是2.3节讨论的内容。
遗憾的是，如果要在一个特定模型中形式地定义公式为真，则更为复杂。在理想情况下，我们寻求一个定义，可以用来编写验证公式在特定模型中是否成立的计算机程序。首先，我们需要理解以不同方式出现的变量。考虑前面已画出语法分析树的公式：∀x((P(x)→Q(x))∧S(x,y))\forall x((P(x) \to Q(x)) \land S(x, y))∀x((P(x)→Q(x))∧S(x,y))

可以发现变量出现在两种不同的位置：

第一，在像∀x\forall x∀x和∃z\exist z∃z的结点中，总出现在量词∀\forall∀和∃\exist∃后面；这样的结点总是只有一棵子树，它包含了对应量词的作用范围。
变量出现的另一种方式是包含变量的叶结点。若变量是叶结点，则它们代表仍旧需要具体化的值。这主要有两种形式：

在上图所示的例子中，有三个叶结点xxx。如果从叶结点xxx的任意一个出发向上遍历，都会遇到量词∀x\forall x∀x。这意味着xxx的出现实际上受到了∀x\forall x∀x的约束，因此，它们表示或代表了xxx的任意可能值。
在向上遍历的过程中，叶结点yyy所遇到的唯一量词是∀x\forall x∀x，但是xxx和yyy没有任何关系；xxx和yyy是两个不同的占位符。所以在这个公式里，yyy是自由的。
这意味着它的值需要一些附加信息才能确定。例如，内存位置上的内容。

[1]面向计算机科学的数理逻辑——系统建模与推理

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