要推导的公式

如果曲面S\,S\,S由参数方程：{x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)(u,v)∈D\begin{cases}x=x(u,v), \\ y=y(u,v), \\ z=z(u,v)\end{cases} \quad (u,v) \in D\quad⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)(u,v)∈D给出，其中D\,D\,D是一个平面有界闭区域，又x(u,v),y(u,v),z(u,v)\,x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\,x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D\,D\,D上具有连续的一阶偏导数，且∂(x,y)∂(u,v),∂(y,z)∂(u,v),∂(z,x)∂(u,v)\,\begin{aligned}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\,,\,\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,,\,\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\end{aligned}\,∂(u,v)∂(x,y),∂(u,v)∂(y,z),∂(u,v)∂(z,x)不全为零，则曲面D\,D\,D的面积为A=∬DEG−F2dudv,E=xu2+yu2+zu2F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2\begin{aligned} &A=\iint_{D}\sqrt{EG-F^2}\,dudv \,,\\ &E = x_u^2+y_u^2+z_u^2 \\ &F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v \\ &G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{aligned}A=∬DEG−F2dudv,E=xu2+yu2+zu2F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2

推导方法一

已知

若曲面S\,S\,S由方程z=f(x,y)\,z=f(x,y)\,z=f(x,y)给出，D\,D\,D为曲面S\,S\,S在xOy\,xOy\,xOy面上的投影区域，函数f(x,y)\,f(x,y)\,f(x,y)在D\,D\,D上具有连续偏导数fx(x,y)\,f_x(x,y)\,fx(x,y)和fy(x,y)\,f_y(x,y)\,fy(x,y)，则曲面面积的公式为：
A=∬∑dS=∬D1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdyA=\iint_{\sum}dS=\begin{aligned}\iint_{D}\sqrt{1+(\dfrac{\partial z}{\partial x})^2+(\dfrac{\partial z}{\partial y})^2}\,dxdy\end{aligned}A=∬∑dS=∬D1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy

结合第十章第三节的二重积分换元法，可知：

设f(x,y)=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2\,f(x,y)=\sqrt{1+(\dfrac{\partial z}{\partial x})^2+(\dfrac{\partial z}{\partial y})^2}\,f(x,y)=1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2，将x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)\,x=x(u,v)\,,\,y=y(u,v)\,,\,z=z(u,v)\,x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)代入，若能表示为u,v\,u,v\,u,v的函数g(u,v)\,g(u,v)\,g(u,v)，即f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))=g(u,v)\,f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))=g(u,v)\,f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))=g(u,v)，则曲面面积公式等于：A=∬∑dS=∬D′g(u,v)∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudv\,A=\iint_{\sum}dS=\iint_{D'}g(u,v)|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|\,dudv\,A=∬∑dS=∬D′g(u,v)∣∂(u,v)∂(x,y)∣dudv
其中D1\,D_1\,D1是D\,D\,D一对一映射到uOv\,uOv\,uOv平面上的闭区域。

又由第九章第四节的多元复合函数的求导法则的"多元函数与多元函数复合的情形"，得：

∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v\begin{aligned}&\dfrac{\partial z}{\partial u}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u} \\&\dfrac{\partial z}{\partial v}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{aligned}∂u∂z=∂x∂z∂u∂x+∂y∂z∂u∂y∂v∂z=∂x∂z∂v∂x+∂y∂z∂v∂y
简记为：
zu=zxxu+zyyuzv=zxxv+zyyv\begin{aligned}&z_u=z_xx_u+z_yy_u\\&z_v=z_xx_v+z_yy_v\end{aligned}zu=zxxu+zyyuzv=zxxv+zyyv

将zx,zy\,z_x\,,\,z_y\,zx,zy看作变量，其余为常数，由线性代数的克拉默法则以及行列式转置值不变的性质，得：
zx=∣zuyuzvyv∣∣xuyuxvyv∣=∣zuzvyuyv∣∣xuxvyuyv∣zy=∣xuzuxvzv∣∣xuyuxvyv∣=∣xuxvzuzv∣∣xuxvyuyv∣z_x=\dfrac{\begin{vmatrix} z_u & y_u \\ z_v & y_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & y_u \\ x_v & y_v \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{\begin{vmatrix} z_u & z_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}} \\ \, \\ z_y=\dfrac{\begin{vmatrix} x_u & z_u \\ x_v & z_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & y_u \\ x_v & y_v \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ z_u & z_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}}zx=∣∣∣∣xuxvyuyv∣∣∣∣∣∣∣∣zuzvyuyv∣∣∣∣=∣∣∣∣xuyuxvyv∣∣∣∣∣∣∣∣zuyuzvyv∣∣∣∣zy=∣∣∣∣xuxvyuyv∣∣∣∣∣∣∣∣xuxvzuzv∣∣∣∣=∣∣∣∣xuyuxvyv∣∣∣∣∣∣∣∣xuzuxvzv∣∣∣∣

则：
g(u,v)∣∂(x,y)∂(u,v)∣=f(x,y)∣∂(x,y)∂(u,v)∣=1+zx2+zy2∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣xuxvyuyv∣2+∣zuzvyuyv∣2+∣xuxvzuzv∣2=EG−F2\quad \begin{aligned} g(u,v)|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}| &= f(x,y)|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}| \\ &=\sqrt{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_u & z_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ z_u & z_v \\ \end{vmatrix}^2} \\ &= \sqrt{EG-F^2}\end{aligned}g(u,v)∣∂(u,v)∂(x,y)∣=f(x,y)∣∂(u,v)∂(x,y)∣=1+zx2+zy2∣∂(u,v)∂(x,y)∣=∣∣∣∣xuyuxvyv∣∣∣∣2+∣∣∣∣zuyuzvyv∣∣∣∣2+∣∣∣∣xuzuxvzv∣∣∣∣2=EG−F2

推导成功。当然推导成功的前提是∂(x,y)∂(u,v)=∣xuxvyuyv∣\,\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}\,∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣xuyuxvyv∣∣∣∣不为零，如果为零，可转换到∂(y,z)∂(u,v)\,\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,∂(u,v)∂(y,z)的情形，如果这也为零，则最后转换到∂(z,x)∂(u,v)\,\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\,∂(u,v)∂(z,x)的情形。三者不能全为零。

推导方法二

由第十一章第五节的第三部分"两类曲面积分之间的联系"，可知：

曲面dS\,dS\,dS与z\,z\,z轴方向相同的法向量的方向余弦为：
cos⁡α=−zx1+zx2+zy2,cos⁡β=−zy1+zx2+zy2,cos⁡γ=11+zx2+zy2\cos\alpha = \dfrac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,,\,\cos\beta=\dfrac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,,\,\cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,cosα=1+zx2+zy2−zx,cosβ=1+zx2+zy2−zy,cosγ=1+zx2+zy21
其中dS\,dS\,dS与面积元dydz,dzdx,dxdy\,dydz\,,\,dzdx\,,\,dxdy\,dydz,dzdx,dxdy之间的关系为：
dydz=cos⁡αdS,dzdx=cos⁡βdS,dxdy=cos⁡γdSdydz=\cos\alpha\,dS\,,\,dzdx=\cos\beta\,dS\,,\,dxdy=\cos\gamma\,dS\,dydz=cosαdS,dzdx=cosβdS,dxdy=cosγdS
由此可得：dS=(dydz)2+(dzdx)2+(dxdy)2\,dS=\sqrt{(dydz)^2+(dzdx)^2+(dxdy)^2}\,dS=(dydz)2+(dzdx)2+(dxdy)2

又由二重积分的换元法可知：

dydz=∣∂(y,z)∂(u,v)∣dudvdzdx=∣∂(z,x)∂(u,v)∣dudvdxdy=∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudvdydz=|\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|dudv \\ dzdx=|\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}|dudv \\ dxdy=|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudvdydz=∣∂(u,v)∂(y,z)∣dudvdzdx=∣∂(u,v)∂(z,x)∣dudvdxdy=∣∂(u,v)∂(x,y)∣dudv

代入上式即得：

dS=∣∂(y,z)∂(u,v)∣2+∣∂(z,x)∂(u,v)∣2+∣∂(x,y)∂(u,v)∣2dudv=EG−F2dudvdS=\sqrt{|\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|^2+|\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}|^2+|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|^2}\,dudv= \sqrt{EG-F^2}\,dudvdS=∣∂(u,v)∂(y,z)∣2+∣∂(u,v)∂(z,x)∣2+∣∂(u,v)∂(x,y)∣2dudv=EG−F2dudv

重积分换元法的证明参考

二重积分换元法的简便推导

多重积分换元法的证明

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《高等数学》：推导第七版下册第十章第四节的“利用曲面的参数方程求曲面的面积“

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要推导的公式

推导方法一

推导方法二

重积分换元法的证明参考

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