高等数学（第七版）同济大学习题1-10 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题1-10

1.假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x有0≤f(x)≤1。试证明[0,1]中必存在一点c，使得f(c)=c（c称为函数f(x)的不动点）。\begin{aligned}&1. \ 假设函数f(x)在闭区间[0, \ 1]上连续，并且对[0, \ 1]上任一点x有0 \le f(x) \le 1。\\\\&\ \ \ \ 试证明[0, \ 1]中必存在一点c，使得f(c)=c（c称为函数f(x)的不动点）。&\end{aligned}1. 假设函数f(x)在闭区间[0, 1]上连续，并且对[0, 1]上任一点x有0≤f(x)≤1。试证明[0, 1]中必存在一点c，使得f(c)=c（c称为函数f(x)的不动点）。

解：

设F(x)=f(x)−x，则F(0)=f(0)−0≥0，F(1)=f(1)−1≤0如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0)>0且F(1)<0，则由零点定理，得出必存在c∈(0,1)，使F(c)=f(c)−c=0，即f(c)=c，c为f(x)的不动点。\begin{aligned} &\ \ 设F(x)=f(x)-x，则F(0)=f(0)-0 \ge 0，F(1)=f(1)-1 \le 0\\\\ &\ \ 如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0) \gt 0且F(1) \lt 0，则由零点定理，\\\\ &\ \ 得出必存在c \in (0, \ 1)，使F(c)=f(c)-c=0，即f(c)=c，c为f(x)的不动点。 & \end{aligned} 设F(x)=f(x)−x，则F(0)=f(0)−0≥0，F(1)=f(1)−1≤0 如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0)>0且F(1)<0，则由零点定理，得出必存在c∈(0, 1)，使F(c)=f(c)−c=0，即f(c)=c，c为f(x)的不动点。

2.证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间。\begin{aligned}&2. \ 证明方程x^5-3x=1至少有一个根介于1和2之间。&\end{aligned}2. 证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间。

解：

设f(x)=x5−3x−1，则f(x)在闭区间[1,2]上连续，且f(1)=−3<0，f(2)=25>0。由零点定理，得出∃ξ∈(1,2)，使f(ξ)=0，ξ是介于1和2之间的方程的根。\begin{aligned} &\ \ 设f(x)=x^5-3x-1，则f(x)在闭区间[1, \ 2]上连续，且f(1)=-3 \lt 0，f(2)=25 \gt 0。\\\\ &\ \ 由零点定理，得出\exists\ \xi \in (1, \ 2)，使f(\xi)=0，\xi是介于1和2之间的方程的根。 & \end{aligned} 设f(x)=x5−3x−1，则f(x)在闭区间[1, 2]上连续，且f(1)=−3<0，f(2)=25>0。由零点定理，得出∃ ξ∈(1, 2)，使f(ξ)=0，ξ是介于1和2之间的方程的根。

3.证明方程x=asinx+b，其中a>0，b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。\begin{aligned}&3. \ 证明方程x=a\ sin\ x+b，其中a \gt 0，b \gt 0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。&\end{aligned}3. 证明方程x=a sin x+b，其中a>0，b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。

解：

设f(x)=x−asinx−b，则f(x)在闭区间[0,a+b]上连续，且f(0)=−b<0，f(a+b)=a[1−sin(a+b)]，当sin(a+b)<1时，f(a+b)>0，由零点定理，得出∃ξ∈(0,a+b)，使f(ξ)=0，即ξ为方程的根，是正根并且不超过a+b，当sin(a+b)=1时，f(a+b)=0，a+b是满足条件的正根。\begin{aligned} &\ \ 设f(x)=x-a\ sin\ x -b，则f(x)在闭区间[0, \ a+b]上连续，且f(0)=-b \lt 0，f(a+b)=a[1-sin\ (a+b)]，\\\\ &\ \ 当sin\ (a+b) \lt 1时，f(a+b) \gt 0，由零点定理，得出\exists\ \xi \in (0, \ a+b)，使f(\xi)=0，即\xi为方程的根，\\\\ &\ \ 是正根并且不超过a+b，当sin\ (a+b)=1时，f(a+b)=0，a+b是满足条件的正根。 & \end{aligned} 设f(x)=x−a sin x−b，则f(x)在闭区间[0, a+b]上连续，且f(0)=−b<0，f(a+b)=a[1−sin (a+b)]，当sin (a+b)<1时，f(a+b)>0，由零点定理，得出∃ ξ∈(0, a+b)，使f(ξ)=0，即ξ为方程的根，是正根并且不超过a+b，当sin (a+b)=1时，f(a+b)=0，a+b是满足条件的正根。

4.证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a0x2n+1+a1x2n+⋅⋅⋅+a2nx+a2n+1=0至少有一实根，其中a0，a1，⋅⋅⋅，a2n+1均为常数，n∈N。\begin{aligned}&4. \ 证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdot\cdot\cdot+a_{2n}x+a_{2n+1}=0至少有一实根，\\\\&\ \ \ \ 其中a_0，a_1，\cdot\cdot\cdot，a_{2n+1}均为常数，n \in N。&\end{aligned}4. 证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a0x2n+1+a1x2n+⋅⋅⋅+a2nx+a2n+1=0至少有一实根，其中a0，a1，⋅⋅⋅，a2n+1均为常数，n∈N。

解：

当x的绝对值充分大时，f(x)=a0x2n+1+a1x2n+⋅⋅⋅+a2nx+a2n+1的符号取决于a0的符号，当x为正时与a0同号，当x为负时与a0异号，a0≠0。因为f(x)是连续的，它在充分大的区间两端异号，由零点定理得知它在区间内至少有一点处为零，所以f(x)=0至少有一个实根。\begin{aligned} &\ \ 当x的绝对值充分大时，f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdot\cdot\cdot+a_{2n}x+a_{2n+1}的符号取决于a_0的符号，当x为正时与a_0同号，\\\\ &\ \ 当x为负时与a_0异号，a_0 \neq 0。因为f(x)是连续的，它在充分大的区间两端异号，由零点定理得知它在区间内\\\\ &\ \ 至少有一点处为零，所以f(x)=0至少有一个实根。 & \end{aligned} 当x的绝对值充分大时，f(x)=a0x2n+1+a1x2n+⋅⋅⋅+a2nx+a2n+1的符号取决于a0的符号，当x为正时与a0同号，当x为负时与a0异号，a0=0。因为f(x)是连续的，它在充分大的区间两端异号，由零点定理得知它在区间内至少有一点处为零，所以f(x)=0至少有一个实根。

5.若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<⋅⋅⋅<xn<b（n≥3），则在(x1,xn)内至少有一点ξ，使f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)n。\begin{aligned}&5. \ 若f(x)在[a, \ b]上连续，a \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdot\cdot\cdot \lt x_n \lt b（n \ge 3），则在(x_1, \ x_n)内至少有一点\xi，\\\\&\ \ \ \ 使f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n}。&\end{aligned}5. 若f(x)在[a, b]上连续，a<x1<x2<⋅⋅⋅<xn<b（n≥3），则在(x1, xn)内至少有一点ξ，使f(ξ)=nf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)。

解：

因为f(x)在区间[a,b]上连续，又因为[x1,xn]⊂[a,b]，所以f(x)在[x1,xn]上连续。设M=max{f(x)∣x1≤x≤xn}，m=min{f(x)∣x1≤x≤xn}，则m≤f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)n≤M.如果上述不等式为不等号，由介值定理得知，∃ξ∈(x1,xn)，使f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)n，如果上述不等式为等号，m=f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)n，则有f(x1)=f(x2)=⋅⋅⋅=f(xn)=m，任取x2，⋅⋅⋅，xn−1中一点作为ξ，有ξ∈(x1,xn)，使f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)n同理可证，f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)n=M。\begin{aligned} &\ \ 因为f(x)在区间[a, \ b]上连续，又因为[x_1, \ x_n] \subset [a, \ b]，所以f(x)在[x_1, \ x_n]上连续。\\\\ &\ \ 设M=max\{f(x)\ | \ x_1 \le x \le x_n\}，m=min\{f(x)\ | \ x_1 \le x \le x_n\}，则m \le \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n} \le M.\\\\ &\ \ 如果上述不等式为不等号，由介值定理得知，\exists\ \xi \in (x_1, \ x_n)，使f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n}，\\\\ &\ \ 如果上述不等式为等号，m=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n}，则有f(x_1)=f(x_2)=\cdot\cdot\cdot=f(x_n)=m，\\\\ &\ \ 任取x_2，\cdot\cdot\cdot，x_{n-1}中一点作为\xi，有\xi \in (x_1, \ x_n)，使f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n}\\\\ &\ \ 同理可证，\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n}=M。 & \end{aligned} 因为f(x)在区间[a, b]上连续，又因为[x1, xn]⊂[a, b]，所以f(x)在[x1, xn]上连续。设M=max{f(x) ∣ x1≤x≤xn}，m=min{f(x) ∣ x1≤x≤xn}，则m≤nf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)≤M. 如果上述不等式为不等号，由介值定理得知，∃ ξ∈(x1, xn)，使f(ξ)=nf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)，如果上述不等式为等号，m=nf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)，则有f(x1)=f(x2)=⋅⋅⋅=f(xn)=m，任取x2，⋅⋅⋅，xn−1中一点作为ξ，有ξ∈(x1, xn)，使f(ξ)=nf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn) 同理可证，nf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)=M。

6.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y，恒有∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣，其中L为正常数，且f(a)⋅f(b)<0。证明：至少有一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。\begin{aligned}&6. \ 设函数f(x)对于闭区间[a, \ b]上的任意两点x、y，恒有|f(x)-f(y)| \le L|x-y|，\\\\&\ \ \ \ 其中L为正常数，且f(a)\cdot f(b) \lt 0。证明：至少有一点\xi \in (a, \ b)，使得f(\xi)=0。&\end{aligned}6. 设函数f(x)对于闭区间[a, b]上的任意两点x、y，恒有∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣，其中L为正常数，且f(a)⋅f(b)<0。证明：至少有一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ)=0。

解：

任取x0∈(a,b)，∀ε>0，取δ=min{εL，x0−a，b−x0}，当∣x−x0∣<δ时，由假设∣f(x)−f(x0)∣≤L∣x−x0∣<Lδ≤ε，所以f(x)在x0处连续。因为是任取x0∈(a,b)，所以f(x)在(a,b)内连续。\begin{aligned} &\ \ 任取x_0 \in (a, \ b)，\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=min\left\{\frac{\varepsilon}{L}，x_0-a，b-x_0\right\}，当|x-x_0| \lt \delta时，\\\\ &\ \ 由假设|f(x)-f(x_0)| \le L|x-x_0| \lt L\delta \le \varepsilon，所以f(x)在x_0处连续。因为是任取x_0 \in (a, \ b)，\\\\ &\ \ 所以f(x)在(a, \ b)内连续。 & \end{aligned} 任取x0∈(a, b)，∀ ε>0，取δ=min{Lε，x0−a，b−x0}，当∣x−x0∣<δ时，由假设∣f(x)−f(x0)∣≤L∣x−x0∣<Lδ≤ε，所以f(x)在x0处连续。因为是任取x0∈(a, b)，所以f(x)在(a, b)内连续。

7.证明：若f(x)在(−∞,+∞)内连续，且lim⁡x→∞f(x)存在，则f(x)必在(−∞,+∞)内有界。\begin{aligned}&7. \ 证明：若f(x)在(-\infty, \ +\infty)内连续，且\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)存在，则f(x)必在(-\infty, \ +\infty)内有界。&\end{aligned}7. 证明：若f(x)在(−∞, +∞)内连续，且x→∞limf(x)存在，则f(x)必在(−∞, +∞)内有界。

解：

设lim⁡x→∞f(x)=A，∀ε>0，取ε=1，∃X>0，当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<1⇒∣f(x)∣≤∣f(x)−A∣+∣A∣<∣A∣+1。因为f(x)在[−X,X]上连续，由有界性定理得出，∃M>0，∀x∈[−X,X]，有∣f(x)∣≤M。取M′=max{M,∣A∣+1}，即有∣f(x)∣≤M′，∀x∈(−∞,+∞)。\begin{aligned} &\ \ 设\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A，\forall\ \varepsilon \gt 0，取\varepsilon=1，\exists\ X \gt 0，当|x| \gt X时，\\\\ &\ \ 有|f(x)-A| \lt 1 \Rightarrow |f(x)| \le |f(x)-A|+|A| \lt |A|+1。\\\\ &\ \ 因为f(x)在[-X, \ X]上连续，由有界性定理得出，\exists\ M \gt 0，\forall\ x \in [-X, \ X]，有|f(x)| \le M。\\\\ &\ \ 取M'=max\{M, \ |A|+1\}，即有|f(x)| \le M'，\forall\ x \in (-\infty, \ +\infty)。 & \end{aligned} 设x→∞limf(x)=A，∀ ε>0，取ε=1，∃ X>0，当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<1⇒∣f(x)∣≤∣f(x)−A∣+∣A∣<∣A∣+1。因为f(x)在[−X, X]上连续，由有界性定理得出，∃ M>0，∀ x∈[−X, X]，有∣f(x)∣≤M。取M′=max{M, ∣A∣+1}，即有∣f(x)∣≤M′，∀ x∈(−∞, +∞)。

8.在什么条件下，(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续？\begin{aligned}&8. \ 在什么条件下，(a, \ b)内的连续函数f(x)为一致连续？&\end{aligned}8. 在什么条件下，(a, b)内的连续函数f(x)为一致连续？

解：

如果f(a+)，f(b−)都存在，设F(x)={f(a+)，x=a，f(x)，x∈(a,b)，f(b−)，x=b.，证得F(x)在区间[a,b]上连续，从而F(x)在区间[a,b]上一致连续，也就有F(x)在区间(a,b)内一致连续，f(x)在区间(a,b)内一致连续。\begin{aligned} &\ \ 如果f(a^+)，f(b^-)都存在，设F(x)=\begin{cases}f(a^+)，x=a，\\\\f(x)，x \in (a, \ b)，\\\\f(b^-)，x=b.\end{cases}，证得F(x)在区间[a, \ b]上连续，\\\\ &\ \ 从而F(x)在区间[a, \ b]上一致连续，也就有F(x)在区间(a, \ b)内一致连续，f(x)在区间(a, \ b)内一致连续。 & \end{aligned} 如果f(a+)，f(b−)都存在，设F(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧f(a+)，x=a，f(x)，x∈(a, b)，f(b−)，x=b.，证得F(x)在区间[a, b]上连续，从而F(x)在区间[a, b]上一致连续，也就有F(x)在区间(a, b)内一致连续，f(x)在区间(a, b)内一致连续。