关灯游戏 Lights out (二)(首行枚举+位运算，搜索全部解)

关灯游戏的简介就不介绍了，还不了解的朋友可点击笔者的上一篇博文----关灯游戏 Lights out (一)(极速求解)

在这一篇给大家介绍“关灯游戏”的枚举算法。

枚举算法很简单，就是枚举所有开关操作，然后逐一检索经过各种操作后局面的最终状态，当灯全灭时输出解。

对一个m×n的灯阵，并不需要枚举整个局面2^(m×n)种开关组合。因为任意一种操作，首行的操作就决定了后面所有行的操作都是唯一确定的，不存在其它可能。

原因很简单，因为能影响第一行灯的亮/灭状态，只可能是第二行的操作组合，并且能让第一行灯全灭的操作是唯一的；接下来，能影响第二行灯的亮/灭状态，只可能是第三行的操作组合，并且能让第二行灯全灭的操作是唯一的...依此类推。所以，当第一行的开关操作确定了，为了使得每一行的灯全灭，后面所有行的开关操作也都确定了。

请看下面图示例子：

一个5×5的灯阵，假设一开始全部灯全亮，如上图所示。

假如某一种开关操作，它的第一行操作如上图所示(1代表对该灯开关操作一次，下同)。

第一行开关操作完毕，局面灯的亮/灭状态如上图所示。

此时我们看到，第一行两端盏两盏灯灭了，中间三盏灯还是亮的。为了使第一行灯全灭，接下来对第二行必须对中间三盏灯开关操作一次，并且不可以操作第二行两端两盏灯，第二行的操作是唯一确定的。(对以后所有行的操作依此类推)

操作完第二行后，局面灯的亮灭状态如上图所示。

操作完第三行后，局面灯的亮灭状态如上图所示。

操作完第四行后，局面灯的亮灭状态如上图所示。

操作完第五行后，局面灯的亮灭状态如上图所示。

当所有行都操作完毕后，检查一下局面，如果局面的灯全灭，则输出该解。如果局面还有灯亮，说明从一开始，第一行的操作就是错的。

上面图示例子，到最后局面的灯全灭了，表明我们找到了解法，就是最后一个图标出的操作组合。

通过上面分析，枚举时，只需要枚举第一行所有的操作组合，对一个m行n列灯阵，枚举量为2^n。时间复杂度是O(2^n)，猛一看上去似乎这种算法效率太差。其实不然，因为开/关操作和灯的亮/灭可以对应计算机的二进制数据，这样一来，整个过程可以用位运算来完成，速度极快，求解20×20的灯阵是毫秒内的事情，应付游戏娱乐足够了。

枚举算法非常简单，易于编程实现，求解小关卡速度也很快，所以枚举算法是个不错的选择，没有必要动不动就用线性代数算法求解。

当第一行的开/关操作确定下来后，后面所有行的操作，都必须确保前一行的灯全灭，那么最后检查局面灯是否全灭时，只需要检查最后一行灯是否全灭即可。

所有行开关操作完毕时，如果局面灯全灭，输出该解。

枚举完第一行2^n种不同操作，如果每种操作，最后都无法使得灯全灭，则说明初始局面无解。

灯亮用1表示，灯灭用0表示；对任意一盏灯，有开关操作用1表示，没有操作用0表示(开关操作偶数次等价于0次，开关操作奇数次等价于1次)。

m行n列灯阵，可以用数组Lights[m]来表示灯的亮/灭状态，数组中的每一个数据表示一整行灯的亮/灭状态；用数组press[m]来表示开关操作，数组中的每一个数据表示一整行的开关操作情况。为了读入初始化局面，再增加一个initializtion[m]数组记录初始化灯阵的亮/灭状态。以上三个数组的数据，二进制长度都是n位。

编程很简单，核心代码不过十行左右。下面是首行枚举+位运算完整C++代码( 程序默认初始状态的灯全亮，搜索目标状态为灯全灭；可以读入初始化局面，自动判断有没有解，如果有解，将输出所有解)：

#include<iostream>
using namespace std;
long Row,Column,guide,statistic=0;void specification()
{int i;cout<<"\n                       关灯游戏(Lights out)解题程序\n\n";cout<<"    本程序用于求解智力难题----“关灯游戏”，可以求解任意初始局面的灯阵，默认初始";cout<<"状态灯全亮，求解的目标状态是灯全灭。\n";cout<<"    解题开始前要设置行数和列数。行数不限，但列数受数值位数限制，不可以大于30。如";cout<<"果列数不等于行数，那么最好设置行数大于列数，因为本程序行数没有限制，并且，求解一";cout<<"个30行2列的局面，远远快于2行30列的局面。\n";cout<<"    程序允许选择手动输入自定义初始布局。\n";cout<<"    程序会自动判断局面有无解，如果有解，将给出所有解！\n\n";for(i=0; i<80; i++)cout<<"=";
}int choose(long *initializtion)
{long i,j,opening,check=1;char C;cout<<"请选择，是否输入自定义初始局面?  (Y/N)：";cin>>C;if((C=='Y')||(C=='y')){cout<<"\n请输入初始局面，1代表亮灯，0代表灭灯。灯之间用空格隔开，输完一行后用回车换行。\n";cout<<"例如，输入一个2行3列，并且有两盏亮灯的初始局面为：\n0 0 1\n0 1 0\n";for(i=0; i<80; i++)cout<<"-";cout<<"\n";for(i=0; i<Row+2; i++)initializtion[i]=0;          //清空默认初始化局面for(check=0,i=1; i<=Row; i++)                      //读入用户设置初始局面{for(j=0; j<Column; j++){cin>>opening;initializtion[i]<<=1;initializtion[i]+=opening;}check|=initializtion[i];}if(check==0)                                       //检查用户输入的局面，如果灯已经全灭，则程序结束cout<<"\n灯已经全灭。\n";}return check;
}void solve(long *lights,long *press,long *initializtion)
{long i,j,L,R,permutation,temp;for(permutation=0; permutation<guide; permutation++)       //从0~2^Column-1逐一枚举第一行操作{lights[0]=permutation;                             //第一行操作等于第0行灯的状态for(i=1; i<=Row; i++)                              //清空后面所有行操作，并重新初始化灯局面{press[i]=0;lights[i]=initializtion[i];}for(i=1; i<=Row; i++)                              //开关灯操作{press[i]=lights[i-1];lights[i+1]^=press[i];                     //第i+1行灯的开关操作，等于第i-1行灯的状态lights[i]^=press[i];L=press[i]<<1;if(guide<=L)L^=guide;lights[i]^=L;R=press[i]>>1;lights[i]^=R;}if(lights[Row]==0)                                  //检查局面，如果灯全灭，则输出解{cout<<"\n\n";statistic++;                                //解数量计数器for(i=1; i<=Row; i++)                       //输出解{temp=guide>>1;for(j=0; j<Column; j++){(press[i]&temp)?cout<<"1 ":cout<<"0 ";temp>>=1;}cout<<endl;}}}
}int main(void)
{/*关灯游戏C++代码位运算版，支持用户输入初始局面；可判断局面有无解；有解局面将给出所有解*/long i;specification();cout<<"\n请输入行数：";cin>>Row;cout<<"请输入列数：";cin>>Column;long *lights=new long [Row+2];           //lights[]用于保存灯的局面状态long *press=new long [Row+2];            //press[]用于保存按灯位置long *initializtion=new long[Row+2];     //initializtion[]用于保存用户输入初始化局面if(Column>30||Row*Column==0)             //这里限制用户输入列不可以大于30，或者行数和列数不可以等于0{if(Column>30)cout<<"\n列数不可超过30\n";goto end;}guide=1<<Column;for(i=0; i<Row+2; i++)lights[i]=initializtion[i]=guide-1; //默认初始化局面为灯全亮if(choose(initializtion)==0)goto end;cout<<"\n解题开始，请稍候------------\n";solve(lights,press,initializtion);statistic?cout<<"\n\n全部解个数："<<statistic:cout<<"\n此题无解！";
end:cout<<"\n\n运行结束，请按任意键退出程序。";delete []lights;delete []press;delete []initializtion;cin.ignore(),cin.ignore();return 0;
}

上面程序，因为输入输出以及各种判断比较繁琐，导致代码量巨大。笔者曾打算为程序写一个图形界面，但考虑到这样使用起来也不是很复杂，而写GUI会很麻烦，于是作罢。

下面这是笔者用上面程序得到的统计表(独立解和最少操作次数的统计，需要对程序进行改动)

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