关灯游戏(Lights Out)

关灯游戏是Tiger Electronics在1995年发行的一款电子游戏，Parker Brothers在上世纪70年代发布过一款规则与此类似的3×3的游戏， Vulcan Electronics在1983年也生产过与此类似的游戏，名称为XL-25。

目前这款游戏的中文名很混乱，网上可见“开关灯游戏”、“灭灯游戏”、“开灯游戏”、“熄灯游戏”、“点灯游戏”、“灯阵游戏”、“地板游戏”...虽然意思都差不多，但名称不统一，不利于学术研究和搜索。在维基百科里(https://en.wikipedia.org/wiki/Lights_Out_(game))，这款游戏的英文名称为：“Lights Out”，可翻译为“关灯游戏”。

关灯游戏规则非常简单，在一个M×N阵列里，有若干盏灯亮着(可以全部都亮着)，点击任意一盏灯(不管此灯是亮着还是灭着，都可以点)，那么该灯以及与该灯相邻的上、下、左、右共五盏灯都同时会变成与自身相反状态，即亮的变灭，灭的变亮(由于边角的特殊性，点击边上的灯，只有四盏灯一起变化；点击角上的灯，只有三盏灯一起变化)。

游戏的目标是：通过点击灯阵一些灯，使得灯阵上所有灯都熄灭。

来看维基的一张游戏示意图：

上图是一个5×5正方形灯阵，初始状态只有左上角一盏灯亮着；第一次点击右下角灯，则右下角三盏灯全部变亮；第二次点击右下角斜边第二个盏灯，结果如最后一个图所示(此时局面还有灯亮着，游戏并未结束)。

关灯游戏规则虽然简单，但玩起来颇有难度。于是众多程序猿想到用计算机求解。常规解法是线性代数解法，这个有点数学含量。

线性代数解法的优点很多，不单可以求解M×N任意阵列灯阵，而且对灯阵任意初始状态也能求解，是个不错的方法。不过，线性代数解法的缺点也是明显的，代码比较复杂，时间复杂度也降不下来，当灯数量很多时，就很难在有限时间内求解了。

线性代数解法原理，网上已经有了，在这里就不介绍了。这里介绍笔者找到了一个速度超快的算法，求解511×511灯阵(初始状态全亮)耗时不到1秒，速度极快！算法很简单，就是只点击局面未亮的灯，一直找到解法为止。但笔者这个解法缺点也很明显，就是无法求解任意阵列关卡。

代码如下(C/C++)：

#include/*关灯游戏求解代码(只求解初始状态全亮灯阵)*/

#define M 15 /*M等于灯阵行数*/

#define N 31 /*N等于灯阵列数*/

int main(void)

{/*M、N值须符合1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 31, 47, 63, 95, 127, 191, 255, 383, 511...数列规律*/

int a[M+2][N+2]={0},b[M+2][N+2]={0},i,j,k=1;

while (k)

{

for(i=0;++i<=M;)

for(j=0;++j<=N;)

if(!a[i][j])b[i][j]^=1,a[i][j]^=1,a[i][j+1]^=1,a[i][j-1]^=1,a[i+1][j]^=1,a[i-1][j]^=1;

for(i=k=0;++i<=M;)

for(j=0;++j<=N;)if(!a[i][j])k=1;

}

for(i=0;++i<=M;printf("\n"))

for(j=0;++j<=N;)printf("%2d",b[i][j]);

return 0;

}

例如调整M=N=11，程序输出为：

笔者这个解法只求解初始状态全都亮的灯阵，可以求解的正方形灯阵阶数为：

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 31, 47, 63, 95, 127, 191, 255, 383, 511, 767, 1023, 1535, 2047, 3071, 4095, 6143, 8191, 12287...

这个数列的通项公式为：a(2n) = 2*2^n - 1，a(2n+1) = 3*2^n - 1

符合这个数列阶数的正方形灯阵，都可以求解，另外，4阶也可以求解。

在“整数数列线上大全”(https://oeis.org/)网站上，这个数列编号为：A052955

具体网址：

https://oeis.org/search?q=7%2C11%2C15%2C23%2C31%2C47%2C63%2C95%2C127%2C191%2C255%2C383%2C511+&sort=number&language=&go=Search

上面程序还可以求解一些矩形灯阵，对矩形的边有如下要求：

1、当M等于1时，N值等于上面数列任意一个数值的矩阵均可求解；

2、当M和N的关系为下面规律数值时，M×N矩阵均可求解：

M值

1

3

7

15

31

63

127

255

...

N值

3

7

15

31

63

127

255

511

...

对上面程序点评：

优点：程序简单，速度极快

缺点：只能求解特殊规格矩阵，作用有限。