3.4拟凸函数

定义及例子
基本性质
可微拟凸函数

定义及例子

定义

函数 $f:R^n\rightarrow R$ 称为拟凸函数，如果其定义域和所有下水平集 $S_\alpha =\left \{ x\in dom(f) |f(x)\leq \alpha \right \},\alpha \in R$ ，都是凸集。

如果f(x)是拟凸函数，则-f(x)是拟凹函数。拟凹函数：每个上水平集均为凸集。如果一个函数既是拟凸函数又是拟凹函数，其为拟线性函数。

如上图， $S_\alpha=[a,b],S_\beta=(-\infty ,c]$ ，两个下水平集均为凸集。

而上图， $S_a=[c,d]\cup [e,g],S_b=[h,i]$ ，显然 $S_a$ 不是凸集，f(x)不是拟凸函数。

结论：凸函数具有凸的下水平集，即凸函数也是拟凸函数，但从第一个图可以看出拟凸函数未必是凸函数。

对于上下水平集是否是凸集的判断，主要在于区间是否连续。

例子

$\sqrt{|X|}$ 是拟凸函数，可以看出对任意的 $\alpha$ ，下水平集是凸集，而上水平集不是凸集。

log(x)是拟线性函数，从下图可以看出，可以看出对任意的 $\alpha$ ，下水平集上水平集都是凸集。

$f(x_1,x_2)=x_1x_2$ 在 $R_{++}^2$ 上是拟凹函数，因为其上水平集是凸集。

线性分式 $f(x)=\frac{a^Tx+b}{c^Tx+d},dom(f)=\left \{ x|c^Tx+d>0 \right \}$ 也是拟线性函数，因为其下水平集

$S_\alpha =\left \{ x|c^Tx+d>0,(a^Tx+b)/(c^Tx+d)\leq \alpha \right \} =\left \{ x|c^Tx+d>0,(a^Tx+b)\leq \alpha(c^Tx+d) \right \} =\left \{ x|c^Tx+d>0,(a^T-\alpha c^T)x\leq \alpha d-b \right \}$

可以看出其下水平集是一个开半平面 $c^Tx+d>0$ 和闭半平面 $(a^T-\alpha c^T)x\leq \alpha d-b$ 的交集，是凸集。

ceil(x)的上水平集合下水平集均为凸集，故ceil(x)为拟线性函数。

距离比函数：

$a,b\in R^n,f(x)=\frac{||x-a||_2}{||x-b||_2},dom(f)=\left \{ x|\, \, ||x-a||_2\leq ||x-b||_2 \right \}$ ，是拟凸函数，根据定义域可知 $f(x)\leq 1$ ，因此 $\forall \alpha >1$ 其对应的下水平集跟 $\alpha=1$ 一样，故只需证明 $\alpha \leq 1$ 时，其对应下水平集为凸集，

$S_\alpha =\left \{ x\in dom(f)|\, \, ||x-a||_2\leq \alpha||x-b||_2 \right \}$

$||x-a||_2\leq \alpha||x-b||_2$

对上述式子两边去平方，得到

$(x-a)^T(x-a)\leq \alpha (x-b)^T(x-b)$

整理得到：

$(1-\alpha^2)x^Tx-2(a-\alpha^2b)^Tx+a^Ta-\alpha^2 b^Tb\leq 0\, \, \, \, (1)$

现证明 $S_\alpha$ 为凸集：

$\forall x_1,x_2 \in S_\alpha,\forall \theta \in[0,1],x^{'}=\theta x_1+(1-\theta )x_2$

现证 $x^{'}\in S_a$ ，即满足(1)，将其代入(1)，得到：

$(1-\alpha^2)(\theta x_1+(1-\theta)x_2)^T(\theta x_1+(1- \theta)x_2)-2(a-\alpha^2b)^T(\theta x_1+(1- \theta)x_2)+a^Ta-\alpha^2 b^Tb\leq 0$

整理左边：

$(1-\alpha^2)(\theta x_1+(1-\theta)x_2)^T(\theta x_1+(1- \theta)x_2)-2(a-\alpha^2b)^T(\theta x_1+(1- \theta)x_2)+a^Ta-\alpha^2 b^Tb$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right\}-2(a-\alpha^2b)^T\theta x_1-2(a-\alpha^2b)^T(1- \theta)x_2+a^Ta-\alpha^2 b^Tb$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1+\theta x_1^Tx_1-\theta x_1^Tx_1+(1-\theta)x_2^Tx_2-(1-\theta) x_2^Tx_2+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}-2(a-\alpha^2b)^T\theta x_1-2(a-\alpha^2b)^T(1- \theta)x_2+a^Ta-\alpha^2 b^Tb$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1-\theta x_1^Tx_1-(1-\theta) x_2^Tx_2+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}+(1-\alpha^2)\theta x_1^Tx_1-2(a-\alpha^2b)^T\theta x_1+(1-\alpha^2)(1-\theta)x_2^T x_2-2(a-\alpha^2b)^T(1- \theta)x_2+a^Ta-\alpha^2 b^Tb$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1-\theta x_1^Tx_1-(1-\theta) x_2^Tx_2+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}+(1-\alpha^2)\theta x_1^Tx_1-2(a-\alpha^2b)^T \theta x_1+(1-\alpha^2)(1-\theta)x_2^T x_2-2(a-\alpha^2b)^T(1- \theta)x_2+\theta( a^Ta-\alpha^2 b^Tb)+(1-\theta) (a^Ta-\alpha^2 b^Tb)$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1-\theta x_1^Tx_1-(1-\theta) x_2^Tx_2+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}+\theta{\color{Red} \left\{ (1-\alpha^2) x_1^Tx_1-2(a-\alpha^2b)^T x_1+a^Ta-\alpha^2 b^Tb\right\}}+(1- \theta){\color{Red} \left\{(1-\alpha^2)x_2^T x_2-2(a-\alpha^2b)^Tx_2+a^Ta-\alpha^2 b^Tb\right\}}$

由于 $x_1,x_2\in S_\alpha$ ，故 $x_1,x_2$ 满足（1），故上式红色部分均小于等于0，故

$(1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1-\theta x_1^Tx_1-(1-\theta) x_2^Tx_2+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}+\theta{\color{Red} \left\{ (1-\alpha^2) x_1^Tx_1-2(a-\alpha^2b)^T x_1+a^Ta-\alpha^2 b^Tb\right\}}+(1- \theta){\color{Red} \left\{(1-\alpha^2)x_2^T x_2-2(a-\alpha^2b)^Tx_2+a^Ta-\alpha^2 b^Tb\right\}}$

$\leq (1-\alpha^2)\left\{\theta^2 x_1^Tx_1-\theta x_1^Tx_1-(1-\theta) x_2^Tx_2+(1-\theta)^2x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}$

$= (1-\alpha^2)\left\{(\theta^2-\theta) x_1^Tx_1+((1-\theta)^2-(1-\theta)) x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta(\theta-1) x_1^Tx_1+(1-\theta)((1-\theta)-1) x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}$

$=(1-\alpha^2)\left\{\theta(\theta-1) x_1^Tx_1-(1-\theta)\theta x_2^Tx_2+2\theta(1-\theta)x_1^Tx_2\right \}$

$=(1-\alpha^2)\theta(1-\theta) (-x_1^Tx_1-x_2^Tx_2+2x_1^Tx_2)\leq 0$

故

$x^{'}=\theta x_1+(1-\theta) x_2\in S_\alpha$ , $S_\alpha$ 为凸集，函数为拟凸函数。

基本性质

修正的Jensen不等式

函数f是拟凸函数的充分必要条件是：dom(f)是凸集，且

$\forall x,y\in dom(f),\forall \theta \in[0,1],$ 有 $f(\theta x+(1-\theta)y)\leq max\left \{ f(x),f(y) \right \}$

即线段中任意一点的函数值不超过其断电函数值中最大的那个。

R上的拟凸函数

连续函数 $f:R^n\rightarrow R$ 是拟凸的，当且仅当下述条件至少有一个成立：

f是非减的
f是非增的
$\exists c\in dom(f),\forall t \leq c,t\in dom(f)$ ，f非增， $\forall t\geq c,t\in dom(f),$ f非减。

可微拟凸函数

一阶条件

设函数 $f:R^n\rightarrow R$ 可微，则函数f是拟凸函数的充要条件，dom(f)是凸集，且

$\forall x,y\in dom(f),f(y)\leq f(x)\Rightarrow \bigtriangledown ^Tf(x)(y-x)\leq 0$

几何上，表示在每个 $\bigtriangledown f(x)$ 在点x处定义了水平集 $\left \{ y|f(y)\leq f(x) \right \}$ 的一个支撑超平面。

多个拟凸函数的和不一定是拟凸函数。

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