第五章：时间序列

序列相关性
- 实际问题的序列相关性
- 后果
- 检验
- 补救
- 虚假序列相关
平稳性
- 定义
- 白噪声
- 随机游走
- 平稳性判断
- 单位根检验（unit root test）
- - ADF检验
- 单整时间序列
协整与误差修正模型
- 协整的检验
- - 两变量的Engle-Granger检验
- 均衡与协整的讨论
- 误差修正模型
格兰杰因果检验
- 自回归模型
- AR（p）平稳性条件
- 格兰杰因果检验表述

序列相关性

序列相关：Cov(μi,μj)!=0Cov(\mu_i, \mu_j)\ !=0Cov(μi,μj) !=0
或： Var(μ)=E(μμ′)=σ2Ω!=σ2IVar(\mu) = E(\mu \mu')=\sigma ^2 \Omega \ !=\sigma ^2 IVar(μ)=E(μμ′)=σ2Ω !=σ2I

如果仅存在：E(μt,μt+1)!=0E(\mu_t,\mu_{t+1}) \ !=0E(μt,μt+1) !=0，则称之为一阶序列相关或自相关。
自相关往往能写成：μt=ρμt−1+ϵt−1<ρ<1\mu_t = \rho \mu_{t-1}+\epsilon_t \qquad -1<\rho<1μt=ρμt−1+ϵt−1<ρ<1
其中ρ\rhoρ称之为自协方差系数或一阶自相关系数。
且E(ϵt)=0,Var(ϵt)=σ2,Cov(ϵt,ϵs)=0(t!=s)E(\epsilon_t)=0, \qquad Var(\epsilon_t)=\sigma^2,\qquad Cov(\epsilon_t,\epsilon_s)=0(t \ !=s)E(ϵt)=0,Var(ϵt)=σ2,Cov(ϵt,ϵs)=0(t !=s)，即ϵ\epsilonϵ是满足标准最小二乘法假定的随机干扰项。

实际问题的序列相关性

经济变量固有的惯性
模型设定的偏误
数据的“编造”
一般经验：不同样本点间存在一些解释变量外在时间上的连续性，因此往往又序列相关性。

后果

参数估计量非有效
显著性检验失去意义
预测失效

检验

图示法
回归检验法（以ete_tet为被解释变量，以 et−1...e_{t-1}...et−1...为解释变量建立各种方程）
D.W检验法（D.W统计量=∑t(et−et−1)2∑tet2\frac{\sum_t(e_t-e_{t-1})^2}{\sum_t e_t^2}∑tet2∑t(et−et−1)2；有很多假定条件：1.解释变量X非随机，2随机干扰项一阶自相关 3.回归模型不含有滞后应变量作为解释变量 4.含有截距项; dL,dU，4−dL,4−dUd_L,d_U，4-d_L, 4-d_UdL,dU，4−dL,4−dU把0−40-40−4划分成了五个区间，分别为：正相关，不能确定，不相关，不能确定，负相关。）
拉格朗日乘数(LM)检验（克服了D.W检验的缺陷，适用于随机干扰项高阶序列相关和含有滞后解释变量的情形。）

补救

广义最小二乘法（Ω=DD′，beta^=(X′Ω−1X)−1X′Ω−1y\Omega=DD'，\hat{beta}=(X' \Omega^{-1}X)^{-1}X'\Omega^{-1}yΩ=DD′，beta^=(X′Ω−1X)−1X′Ω−1y）
广义差分法（一阶序列相关初始值：Y1^=1−ρ2Y1,X^=1−ρ2X\hat{Y_1}=\sqrt {1-\rho^2}Y_1, \quad \hat{X}=\sqrt {1-\rho^2}XY1^=1−ρ2Y1,X^=1−ρ2X，这样广义差分法完全等价于广义最小二乘法。）

虚假序列相关

虚假序列相关：如果随机干扰项的序列相关是在模型设定中遗漏了重要的解释变量或对函数形式设定有误出现的，则称之为虚假序列相关。

平稳性

使用平稳时间序列理由有二:

时间序列平稳性可以替代随机抽样假定。
采用平稳时间序列建立回归模型，可以有效减少虚假回归（两个没有经济因果关系的时间序列，回归得到了很好的拟合优度）。

定义

E(Xt)=μ，与时间无关E(X_t)=\mu，与时间无关E(Xt)=μ，与时间无关
Var(Xt)=μ，与时间无关Var(X_t)=\mu，与时间无关Var(Xt)=μ，与时间无关
Cov(Xt,Xtk)=γk，仅与时间间隔有关Cov(X_t,X{_{tk}})=\gamma _k，仅与时间间隔有关Cov(Xt,Xtk)=γk，仅与时间间隔有关
那么称{XtX_tXt}为平稳的，该随机过程（时间序列由这个随机过程生成）是一个平稳随机过程。

白噪声

Xt=μt,μt∼N(0,σ2)X_t = \mu _t, \qquad \mu_t\sim N(0,\sigma^2)Xt=μt,μt∼N(0,σ2)
容易知道白噪声是平稳时间序列。

随机游走

Xt=Xt−1+μt,μt是白噪声X_t = X_{t-1}+\mu_t, \mu_t是白噪声Xt=Xt−1+μt,μt是白噪声
其是非平稳序列，但是其一阶差分是平稳的。
其实随机游走是，一阶自回归AR(1)过程的特例：
Xt=ϕXt−1+μtX_t = \phi X_{t-1}+\mu_tXt=ϕXt−1+μt

平稳性判断

画图判断
样本自相关函数(rk=Cov(Xt,Xt+k)Cov(Xt,Xt)r_k = \frac{Cov(X_t,X_{t+k})}{Cov(X_t,X_t)}rk=Cov(Xt,Xt)Cov(Xt,Xt+k)，平稳时间序列的样本自相关函数会随着k增大迅速降为0。)

单位根检验（unit root test）

DF检验(假定时间序列是由具有白噪声的一阶自回归过程AR(1)生成的，检验ρ\rhoρ是否小于1，或δ\deltaδ是否小于0；H0:ρ=1orδ=0H_0:\rho=1\ or\ \delta=0H0:ρ=1 or δ=0。)
ADF检验（对DF检验进行了扩充，克服了它的一些缺陷：1.假定1阶自回归过程 2.白噪声随机干扰 3.需要抹除时间趋势）

ADF检验

ΔXt=δXt−1+∑i=1mβiΔXt−i+ϵt\Delta X_t = \delta X_{t-1}+\sum_{i=1}^m\beta_i\Delta X_{t-i}+\epsilon_tΔXt=δXt−1+∑i=1mβiΔXt−i+ϵt
ΔXt=α+δXt−1+∑i=1mβiΔXt−i+ϵt\Delta X_t = \alpha +\delta X_{t-1}+\sum_{i=1}^m\beta_i\Delta X_{t-i}+\epsilon_tΔXt=α+δXt−1+∑i=1mβiΔXt−i+ϵt
ΔXt=α+βT+δXt−1+∑i=1mβiΔXt−i+ϵt\Delta X_t = \alpha+\beta T+\delta X_{t-1}+\sum_{i=1}^m\beta_i\Delta X_{t-i}+\epsilon_tΔXt=α+βT+δXt−1+∑i=1mβiΔXt−i+ϵt
模型3的βT\beta TβT代表某种时间趋势，模型1、2、3都添加了ΔXt\Delta X_tΔXt的滞后项，这是为了消除时间序列由更高阶自回归生成时的序列相关，保证随机项是白噪声，从模型3开始检验，直到拒绝原假设，即时间序列为平稳序列。

单整时间序列

如果一个时间序列经过d阶差分后变成平稳序列，则称之为d阶单整序列，记为I(d)I(d)I(d)，显然I(0)I(0)I(0)为平稳时间序列。

协整与误差修正模型

长期均衡关系： 经济系统中不存在破坏均衡的内在机制。如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。
（d，b）阶协整：不同的（单整阶均为d）变量经过线性组合，得到了单整阶为b的变量，则称他们服从CI(d，b)，也叫做（d，b）阶单整，值得注意的是b<=d，线性组合对应的向量为协整向量。

协整的检验

两变量的Engle-Granger检验

协整回归:最小二乘回归并计算误差（非均衡误差）
检验ete_tet单整性（DF/ADF test），若ete_tet为I(0)I(0)I(0),则YtXtY_t\ X_tYt Xt为（1，1）阶协整；否则认为其不存在协整关系。

均衡与协整的讨论

协整方程具有统计意义，均衡方程具有经济意义
均衡方程应包含均衡系统中所有的时间序列，而协整方差可以只包含其中一部分
协整方程只要求随机干扰项平稳，均衡方程要求其为白噪声。

误差修正模型

ΔYt=β1Xt−λecmt−1+μt\Delta Y_t = \beta_1 X_t-\lambda ecm_{t-1}+\mu_tΔYt=β1Xt−λecmt−1+μt
其中，ecm表示误差修正项。

格兰杰因果检验

自回归模型

Xt=F(Xt−1,Xt−2,...,μt)X_t = F(X_{t-1},X_{t-2},...,\mu_t)Xt=F(Xt−1,Xt−2,...,μt)
p阶自回归过程AR（p）:
Xt=β1Xt−1+...+βpXt−p+μtX_t = \beta_1X_{t-1}+...+\beta_pX_{t-p}+\mu_tXt=β1Xt−1+...+βpXt−p+μt
如果干扰项是白噪声，则被称为纯AR（p）过程。否则一般认为干扰项是q阶的移动平均过程MA（q）:μt=ϵt−θ1ϵt−1−...\mu_t = \epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-...μt=ϵt−θ1ϵt−1−...
ARMA(P,Q)指的是AR（p）过程的干扰项为纯MA（q）过程生成的。

AR（p）平稳性条件

必要条件：
β1+...+βp<1\beta_1+...+\beta_p<1β1+...+βp<1
充分条件:
∣β1∣+...+∣βp∣<1|\beta_1|+...+|\beta_p|<1∣β1∣+...+∣βp∣<1

格兰杰因果检验表述

若包含X,Y过去信息条件下，对Y的预测效果要优于只使用Y的过去信息，则称变量X是引致变量Y的格兰杰原因。
估计两个回归模型：
Yt=β0+∑i=1βiYt−i+∑i=1αiXt−i+μtY_t = \beta_0 + \sum_{i=1} \beta_iY_{t-i}+\sum_{i=1}\alpha_iX_{t-i}+\mu_tYt=β0+i=1∑βiYt−i+i=1∑αiXt−i+μt
Xt=δ0+∑i=1δiXt−i+∑i=1λiYt−i+vtX_t=\delta_0+\sum_{i=1}\delta_iX_{t-i}+\sum_{i=1}\lambda_iY_{t-i}+v_tXt=δ0+i=1∑δiXt−i+i=1∑λiYt−i+vt
格兰杰检验通过受约束的F检验完成，即计算F统计量：
F=(RSSR−RSSU)/mRSSU/(n−k)F = \frac{(RSS_R-RSS_U)/m}{RSS_U/(n-k)}F=RSSU/(n−k)(RSSR−RSSU)/m

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