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中考|数学：空间几何的表面积和体积

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日常知识

1，多面体的面(边)面积

因为多面体的所有边都是平的，所以多面体的侧面积是所有边面积的和，表面积是侧面积和底面积的和。

2，圆柱、圆锥、圆台侧面展开图，侧面积公式

3，圆柱、圆锥、圆台、球体的表面积和体积

4，常见结论

(1)与体积有关的几个结论。

一个组合的体积等于其各部分的和或差。

(2)底面面积和高度相等的两个相似几何形状的体积相等。

(2)关于切球和接球的几个常见结论。

a.正方体的棱长为a，球的半径为R，

如果球面是立方体的外切球面，；

如果球面是立方体的内接球面，2r=a；

如果球与立方体的每条边相切，。

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则

c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

日常示例

某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为( )

A.82+24π

B.92+24π

C.82+14π

D.92+14π

解析：由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是底面半径为2，高为5的圆柱的一半，长方体中EH=4，HG=4，GK=5。所以长方体的表面积(去掉一个上底面)为2×(4×4＋4×5)＋4×5=92。半圆柱的两个底面积为π×22=4π，半圆柱的侧面积为π×2×5=10π，所以整个组合体的表面积为92+4π+10π=92+14π。

回答：D

窍门和诀窍

如何求空间几何的表面积：

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量；

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理；

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用。

空间几何体积问题常见类型及求解策略：

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解；

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解。

空间几何与球面的接合与相切问题的求解：

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解；

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解。

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