D-S证据理论超简单理解

Dempster-Shafer evidence theory，简称D-S证据理论，是Dempster于1967年提出，他的学生Shafer于1976年进一步拓展推广形成的一套完整的不确定推理理论。

D-S证据理论的解释有很多，其中最为常用且易于理解的为“广义贝叶斯理论” ，即D-S理论是贝叶斯理论的一般化。

那么为什么这么说呢？这得从贝叶斯理论开始谈起：

贝叶斯理论，也就是概率论是最经典的不确定推理理论，没有之一。假设Θ\Theta \,Θ是一组相互独立、互相穷尽的命题的集合，记为：
Θ={θ1,θ2,⋯,θn}\Theta {\rm{ = \{ }}{\theta _1},{\theta _2}, \cdots ,{\theta _n}{\rm{\} }}\, Θ={θ1,θ2,⋯,θn}概率论定义在集合Θ\Theta \,Θ上，有P(θi)≥0,∑i=1nP(θi)=1\ P({\theta _i}) \ge 0,\sum\limits_{i = 1}^n {P({\theta _i}) = 1} \, P(θi)≥0,i=1∑nP(θi)=1

最经典的例子是抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上组成命题的集合Θ\Theta \,Θ，正面朝上的概率加上反面朝上的概率等于1。

D-S证据理论参照贝叶斯理论中的概率分配，提出了基本概率分配函数（basic probability assignment, bpa），表示证据对Θ\Theta \,Θ所有子集的影响。bpa定义在识别框架Θ\Theta \,Θ的幂集上，为Θ\Theta \,Θ的每个非空子集分配了信度：
m(∅)=0,∑A⊆Θm(A)=1\ m(\emptyset ) = 0,\sum\limits_{A \subseteq \Theta } {m(A) = 1} \, m(∅)=0,A⊆Θ∑m(A)=1

Θ\Theta \,Θ的幂集指的是Θ\Theta \,Θ所有子集的集合，即：
2Θ={∅,θ1,⋯,θn,{θ1,θ2},⋯,{θn−1,θn},⋯,{θ1,θ2,⋯,θn}}\ {2^\Theta } = \{ \emptyset ,{\theta _1}, \cdots ,{\theta _n},\{ {\theta _1},{\theta _2}\} , \cdots ,\{ {\theta _{n - 1}},{\theta _n}\} , \cdots ,{\rm{\{ }}{\theta _1},{\theta _2}, \cdots ,{\theta _n}{\rm{\} }}\} \, 2Θ={∅,θ1,⋯,θn,{θ1,θ2},⋯,{θn−1,θn},⋯,{θ1,θ2,⋯,θn}}

以上述硬币的例子为例，Θ\Theta \,Θ的幂集为2Θ=\ {2^\Theta } =\, 2Θ= {空集，正面朝上，反面朝上，{正面朝上，反面朝上}}。

为了方面说明，再定义焦元的概念：若m(A)>0\ m(A) > 0\, m(A)>0，则称A为2Θ\ {2^\Theta } \, 2Θ的一个焦元。

很显然，当所有的焦元均是Θ\Theta \,Θ中的元素时（即A=θ1orθ2or⋯orθn\ A{\rm{ = }}{\theta _1}{\rm{ or }}{\theta _2}{\rm{ or }} \cdots {\rm{ or }}{\theta _n}\, A=θ1orθ2or⋯orθn），D-S理论退化为贝叶斯理论，这就是为什么说D-S理论是广义的贝叶斯理论了。

以硬币例子为例，当m(∅)=0\ m(\emptyset ) = 0\, m(∅)=0&m(正面朝上，反面朝上）=0\ m({正面朝上，反面朝上}）=0\, m(正面朝上，反面朝上）=0时，D-S理论退化为贝叶斯理论。

bpa是概率质量分布（probability mass distribution，贝叶斯理论中的定义）的一种推广，后者将[0，1]范围内的一个数赋给Θ\Theta \,Θ的每一个单元素子集，并使这些数之和为1。

在证据理论中，如果证据对某个命题θ1\theta_1 \,θ1的支持度为m(θ1)\ m(\theta_1 )\, m(θ1)，则剩余的支持度将会分配给识别框架Θ\Theta \,Θ，即m(Θ)=1−m(θ1)\ m(\Theta) =1-m(\theta_1 )\, m(Θ)=1−m(θ1)。而在贝叶斯理论中，剩余支持度相当于假设的否定（即被分配给了命题θ1\theta_1 \,θ1的补集），p(θˉ1)=1−p(θ1)\ p(\bar \theta_1)=1-p(\theta_1) \, p(θˉ1)=1−p(θ1)

其实关于DS理论是广义贝叶斯这一点，很多学者是持质疑态度的。他们举的例子是一个识别框架{A,B,C}，如果仅有焦元m(A)=0.5, m(B)=0.3，那么按照广义贝叶斯理论来说应该退化成概率论，根据概率论有p(A∪B）=p(A)+p(B)=0.5+0.3=0.8，也就是m(A,B)=0.8，那么m(A)+m(B)+m(A,B)=1.6>1，不合理。
然而实际上这个例子却是在偷换概念。既然已经退化成贝叶斯理论，那么就应该完全按照概率论的计算方法来对问题进行分析，将m(A,B)=0.8引入最初的基本信度分配中就是不合理的。换句话说，如果一开始就有m(A,B)=0.8，那么证据理论就不会退化成概率论。综上，上述例子是不合理的。

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