[HEOI2013] 钙铁锌硒维生素

2024-05-19 15:36:43

Description

给定2N2N个行向量A1,…,AN,B1,…,BNA_1,\dots,A_N,B_1,\dots,B_N，需要设计一种替换方案，AiA_i被BjB_j替换(i∈[1,N],j∈[N+1,2N])(i\in[1,N],j\in[N+1,2N])，每个jj只能用一次。要求是，每一个AiA_i被对应的BjB_j替换后，Ak(1≤k≤N)A_k(1\le k\le N)间线性无关。并要求方案的字典序最小。

Announcement

本人线性相关知识有限，本文仅作定性分析。

Analysis

后面提到的A,B,CA,B,C将是N×NN\times N的矩阵，其中AA是NN个AiA_i，BB也同理。

SS集合

首先题目应该是要求了AA必须是线性无关，不然就输出不合法（题意交代不清）。

然后对于每个BjB_j，AA中只能有一个最小集合SS，满足SS线性无关，但加入BjB_j后SS将线性相关。

因为若有两个或以上的集合，不管是否有交集，AA将不会线性无关。

建图

我们将要求出对于每个BjB_j的相应集合SS，然后显然BjB_j能替换的只能是SS中的某个AiA_i。设C×A=BC\times A=B，则若CTi,j≠0C^T_{i,j}\neq 0，则BjB_j的SS中含AiA_i，道理是因为∑Ci,j×Aj,k=Bi,k\sum C_{i,j}\times A_{j,k}=B_{i,k}，而Aj,k,Bi,kA_{j,k},B_{i,k}都是行向量。

至于怎么求CC呢，我们可以求出AA的逆矩阵A−1A^{-1}，则有C=B×A−1C=B\times A^{-1}。

字典序最小

建好图后，要使得字典序最小，我们先跑一次完美匹配，然后枚举每个AiA_i，强制其选BjB_j，即把两个点在匹配中禁止走，然后看原来选BjB_j的点能否跑出增广路。

时间复杂度

求逆矩阵是N3N^3的，生成方案也是N3N^3的。
所以本题是O(N3)O(N^3)。

[HEOI2013] 钙铁锌硒维生素相关推荐

洛谷 P4100 [HEOI2013]钙铁锌硒维生素解题报告
P4100 [HEOI2013]钙铁锌硒维生素题目描述银河队选手名单出来了!小林,作为特聘的营养师,将负责银河队选手参加宇宙比赛的饮食. 众所周知,前往宇宙的某个星球,通常要花费好长好长的时间, ...
【BZOJ3168】[Heoi2013]钙铁锌硒维生素高斯消元求矩阵的逆+匈牙利算法
[BZOJ3168][Heoi2013]钙铁锌硒维生素 Description 银河队选手名单出来了!小林,作为特聘的营养师,将负责银河队选手参加宇宙比赛的饮食.众所周知,前往宇宙的某个星球,通常要花 ...
BZOJ 3168: [Heoi2013]钙铁锌硒维生素 [线性基 Hungary 矩阵求逆]
3168: [Heoi2013]钙铁锌硒维生素题意:给一个线性无关组A,再给一个B,要为A中每个向量在B中选一个可以代替的向量,替换后仍然线性无关.判断可行和求字典序最小的解 PoPoQQQ orz ...
Bzoj3168 [Heoi2013]钙铁锌硒维生素
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MB Submit: 466 Solved: 151 Description 银河队选手名单出来了!小林,作为特聘的营养师 ...
BZOJ 3168 Luogu P4100 [HEOI2013]钙铁锌硒维生素 (矩阵求逆、二分图匹配)
线性代数+图论好题. 题目链接: (bzoj) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3168 (luogu) https://www.lu ...
BZOJ3168: [Heoi2013]钙铁锌硒维生素
传送门题意给定一个满秩的矩阵 AAA ,另一个矩阵 BBB 对于 AAA 的每个行向量 AiA_iAi 找到一个匹配 BBB 的行向量 BpiB_{p_i}Bpi 使得 AiA_iAi 替 ...
【BZOJ】3168: [Heoi2013]钙铁锌硒维生素
题解 Ca Fe Zn Se 显然我们既然初始矩阵就能通过线性变换变成单位矩阵,则该矩阵一定有逆没有逆输出NIE 而且因为这些向量两两正交,则表示一个向量的时候表示方法唯一那么我们求一个逆可以求出 ...
BZOJ 3168: [Heoi2013]钙铁锌硒维生素
对着网上下的数据拍发现过不去,交上去就1A了...... 看discuss才发现标程是错的....... 根据14年的论文,A为n维向量的一组基,B中任意行向量属于Span(A),于是可以得出系数矩阵 ...
BZOJ3168. [HEOI2013]钙铁锌硒维生素（线性代数＋二分图匹配）
题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3168 题解首先,我们需要求出对于任意的 \(i, j(1 \leq i, j \leq ...

最新文章

热门文章