1. Pollard’s rho 算法

在大数质因子问题中, 一般被分解的数十分大,使用试除法的时间代价不可接受, Pollard’s rho算法有效的缓解了试除法的时间代价.
生日悖论: 在不少于 23 个人中至少有两人生日相同的概率大于 50%(百度百科).
那么要是人数再多一些是不是存在可能在一定人数中一定有人生日相同? 那么将这么理论应用在数学问题中,假如有nnn个数字的集合,我们不断地随机在集合中选取一个,在多次之后能找到一个数字和之前选出的相同而不需要选遍整个集合. 对于大数质因子问题,我们可以随机的的抽取[1,n−1][1, n-1][1,n−1]集合中的数字, 记做lll,随后再随机不停地抽取数字kkk,直到gcd(l−k,n)≠1gcd(l-k, n) \ne 1gcd(l−k,n)=1.
但是我们需要在内存中保存每一个选取出来的数,要是nnn十分大,我们需要的计算资源会不可接受的大.

这时候可以使用Pollard’s rho算法
{vk=f(vk−1)vk+1=f(f(vk−1))\left\{ \begin{aligned} v_k &= f(v_{k-1})\\ v_{k+1} &= f(f(v_{k-1}))\\ \end{aligned} \right. {vkvk+1=f(vk−1)=f(f(vk−1))我们选取的数并不是完全随机,而是根据上一个选择根据一个伪随机函数生成下一个数字,这样只需要在内存保存两个数.

2. 将Pollard’s rho应用在大数质因子分解问题

现在我们假设需要分解数字mmm,按照试除法的思路,我们应该从111开始用mmm去除, 换成Pollard’s rho算法,应当在[1,m−1][1, m-1][1,m−1]这个集合中选取不同的数.
随后我们选取ρ0\rho_0ρ0作为初始的数,设定函数ρk=f(ρk−1)\rho_k=f(\rho_{k-1})ρk=f(ρk−1)
不停的计算gcd((ρ2−ρ1),m),gcd((ρ3−ρ2),m)...gcd((ρk−ρk−1),m)gcd((\rho_2-\rho_1), m), gcd((\rho_3- \rho_2), m)...gcd((\rho_k - \rho_{k-1}), m)gcd((ρ2−ρ1),m),gcd((ρ3−ρ2),m)...gcd((ρk−ρk−1),m),直到输出不为111

3. 优化

还有一种选择是我们避免每次都计算gcd((ρk−ρk−1),m)gcd((\rho_k - \rho_{k-1}), m)gcd((ρk−ρk−1),m),而是将他们乘起来
S=(ρ2−ρ1)∗(ρ4−ρ2)∗(ρ6−ρ3)∗...∗(ρ2∗z−ρz)S =(\rho_2 - \rho_1)*(\rho_4 - \rho_2)*(\rho_6 - \rho_3)*...*(\rho_{2*z} - \rho_z)S=(ρ2−ρ1)∗(ρ4−ρ2)∗(ρ6−ρ3)∗...∗(ρ2∗z−ρz)
假如有gcd(S,m)≠1gcd(S, m) \ne 1gcd(S,m)=1, 输出gcd(S,m)gcd(S, m)gcd(S,m).
这样就不需要每次都计算一次gcd((ρk−ρk−1),m)gcd((\rho_k - \rho_{k-1}), m)gcd((ρk−ρk−1),m),我们只需要输入一个适当的zzz就可以.
根据生日悖论,假如集合有nnn个数,我们需要选取nπ/2\sqrt{n\pi/2}nπ/2个数字一般就会遇到之前出现过的,那对于zzz可以选择z=int(mπ/2)z=int(\sqrt{m\pi/2})z=int(mπ/2)向上取整.

4例子:27887分解

给定函数ρi+1=ρ12+1\rho_{i+1} = \rho_1^2 +1ρi+1=ρ12+1, ρ0=17\rho_0 = 17ρ0=17

#include <stdio.h>
int main(int argc, char *argv[]){long multi = 1;long rho[421];rho[0] = 17;long temp = 0;int reminder = 27887;int dividend = 27887;int divisor = 1;for(int i = 1; i < 421; i++){temp = rho[i - 1] % 27887;rho[i] = (rho[i -1]*rho[i - 1] + 1);rho[i] = rho[i] % 27887;}for(int i = 1; i < 211; i++){if(rho[i] == rho[i * 2]){continue;}temp = rho[2 * i] - rho[i];if(temp < 0){temp = temp * (-1);}multi = (multi * temp) % 27887;}divisor = multi; //欧几里得辗转相除法while(reminder != 0){ reminder = dividend % divisor;if(reminder == 0){printf("output: %d, %d\n", divisor, 27887 / divisor);continue;}dividend = divisor;divisor = reminder;}return 0;
}
// 输出output: 79, 353

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