一、数理逻辑的基本概念

1、命题

2、原子命题和复合命题

二、联结词

1、如何把命题变成“算式”？

2、联结词

（1）否定词(negation)“并非”(not)：¬

（2）合取词(conjunction)“并且”(and)： ∧

（3）析取词（disjunction）”或”（or）：∨

（4）蕴涵词（implication）”如果…那么…”（if…then…）： →

（5）双向蕴含词（two-way implication）”当且仅当”（if and only if）：↔

三、命题公式

1、逻辑联结词优先级

2、真值函数

一、数理逻辑的基本概念

逻辑学是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创立。亚里士多德在逻辑学上最重要的工作是提出三段论学说。

一个三段论就是一个包括有大前提、小前提和结论三个部分的论证。

逻辑学还是以自然语言来表述，可能会因为自然语言的模糊性损害其准确和权威。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑（也叫做符号逻辑）。

1、命题

命题是数理逻辑中最基本的概念，对确定的对象作出判断的陈述句称作命题。

如果判断正确，称命题真（true），否则称命题假（false），“真、假”是命题的属性，称为“真值”。

例如：

雪是白的 ——> 真命题

2+2=5 ——> 假命题

您贵姓？——> 疑问句，非命题

x+y<10 ——> x,y是不确定的对象，非命题

排中律

排中律是传统逻辑的基本规律之一。任一事物在同一时间里具有某属性或者不具有某种属性，而无其它可能。

“是非之间，必居其一”。墨子也说过：“辩也者，或谓之是，或谓之非，当者胜也“——《经说下》。

反证法与排中律

传统数学证明中经常采用的“反证法”即利用了排中律：

要证明一个命题为真，并不直接证明；
而是假设命题不为真，推出矛盾；
根据排中律，此命题非假，即真；
从而间接证明命题为真。

2、原子命题和复合命题

逻辑联结词(logical connectives)：连接命题，对真值进行运算的词；

原子命题(atom proposition)：不含有逻辑联结词的命题；

复合命题(compound proposition)：包含了原子命题和逻辑联结词的命题。

比如：2是偶数而且3也是偶数。这是由原子命题和一个逻辑联结词“而且”连接而成的复合命题。

二、联结词

数理逻辑创立的初衷：对逻辑和思维过程进行形式化，使之象算术那样简单明了，确切无误。

1、如何把命题变成“算式”？

形式化的第一步：抽象(abstraction)：
仅关注命题的本质属性：真值，而抛弃其丰富的内涵；
仅关注逻辑联结词的本质属性：对真值的运算，而抛弃多变的语言表达方式。
然后是将这两者都变成符号，以规则相连接。
真命题用t表示，假命题用f表示。
原子命题一般用p, q, r, s或pi, qi, ri, si表示。
逻辑联结词用特殊符号来表示：并非(not)：¬ ；并且(and)：∧；或(or)：∨ ；如果……那么……(if ... then ...)：→ ；当且仅当(if and only if)：↔

2、联结词

（1）否定词(negation)“并非”(not)：¬

¬p的逻辑关系为p不成立

注意在包含多个对象判断的命题否定时，其意义的变化：

如：“天鹅都是白的”，其否定并不是“天鹅都不是白的” ，而是“天鹅不都是白的”或“并非所有天鹅都是白的”。

（2）合取词(conjunction)“并且”(and)： ∧

p∧q的逻辑关系为：p和q同时成立

（3）析取词（disjunction）”或”（or）：∨

p∨q的逻辑关系为p和q中至少一个成立

自然语言中的“或”可以符号化为∨，但有时要注意原命题中的“或”可能表示排斥性选择：

例如：

李四学过德语或法语（相容或）：p∨q

p:李四学过德语，q:李四学过法语

张三生于1972年或1973年（排斥或）：p∨q

p:张三生于1972年，q:张三生于1973年

（4）蕴涵词（implication）”如果…那么…”（if…then…）： →

p→q的逻辑关系是，p是q的充分条件，或者说q是p的必要条件

p→q中的p称作蕴涵前件，q称作蕴涵后件，自然语言中的许多条件连接词都可以符号化为→，但是要注意条件的顺序，如：“只要…就…”，“如果…那么…”，“只有…才…” ，自然语言中，条件语句一般都具有内在的联系，而数理逻辑中的蕴涵则仅是命题的一种连接，不一定具有什么内在联系。

例如：

只要2是偶数，雪就是黑的： p→q

p: 2是偶数，q: 雪是黑的

p为真，q为假，本命题为假

（5）双向蕴含词（two-way implication）”当且仅当”（if and only if）：↔

p↔q的逻辑关系是p与q互为充分必要条件，在p，q真值相同的情况下，p ↔q为真

例如：

圆1和圆2面积相等当且仅当它们的半径相等： p↔q

p: 圆1和圆2面积相等，q: 圆1和圆2半径相等

不管p和q的真值如何， p↔q为真

三、命题公式

命题公式(proposition formula)的组成成分

命题常元（proposition constants）：表示具体命题及表示常命题的p, q, r, s等和t,f
命题变元（proposition variables）：以“真，假”或者“1，0”为取值范围的变量，仍用p, q, r, s等表示

命题公式（proposition formula）：由命题常元、变元和联结词组成的形式更为复杂的命题

命题公式（ proposition formula ）定义

① 命题常元和命题变元是命题公式，特别的称作原子公式或原子

② 如果A,B是命题公式，那么(¬A), (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是命题公式

③ 只有有限步引用上述两条所组成的符号串是命题公式

根据定义： (¬(p→(q∧r))) 是命题公式

以下式子都不是命题公式

(qp) ——> 没有联结词

(p1∧(p2∧… ——> 不是有限步

1、逻辑联结词优先级

联结词{¬,∧,∨,→,↔}中， ¬是一元联结词，其它都是连接两个命题的二元联结词

我们定义优先级为：¬, [∧∨], →, ↔ 除非有括号，否则按照优先级从高到低，从左到右的次序结合

如：

¬p∨q 等同于 ((¬p)∨q)

p→q∧r→s 并不是 ((p→q)∧(r→s)) ，其实是 ((p→(q∧r))→s)

2、真值函数

如果将联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元p1, p2, …pn的公式A可以看作是关于p1, p2, …pn的一个真值函数，每个变元的取值范围是{0, 1} ，真值函数值的取值范围也是{0, 1}。

对任意给定的p1, p2, …pn的一种取值状况组合，称为指派或者赋值（assignments），赋值用希腊字母α, β等表示，对于每个赋值，公式A均有一个确定的真值。这样，命题公式在形式上是一个规则的字符串，内容上则对应一个真值函数。

对于所有可能的赋值，公式A的真值可以用真值表来确定。当A(p1, p2, …pn)中包含有k个联结词时，公式A的真值表应为2n行、k+n列，前n列是所有变元的取值组合，最后1列是公式A的真值。

当公式A对赋值α为真时，称α是A的成真赋值，或者α弄真A，记做α(A)=1。反之，称α是A的成假赋值，或者α弄假A，记做α(A)=0。

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（1）否定词(negation)“并非”(not)：¬

（2）合取词(conjunction)“并且”(and)： ∧

（3）析取词（disjunction）”或”（or）：∨

（4）蕴涵词（implication）”如果…那么…”（if…then…）： →

（5）双向蕴含词（two-way implication）”当且仅当”（if and only if）：↔

三、命题公式

1、逻辑联结词优先级

2、真值函数

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