参考文献

电机传动系统控制-薛承基
交流电机动态分析-汤蕴缪
Sychronous Machines Theory and Performances – Charles Concordia

1. 静止坐标系建模

V⃗abc=Rsi⃗abc+ddtψ⃗abc\vec{V}_{abc}=R_s\vec{i}_{abc}+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_{abc} Vabc=Rsiabc+dtdψabc
其中：
V⃗abc=[VaVbVc]Ti⃗abc=[iaibic]Tψ⃗abc=[ψaψbψc]T\vec{V}_{abc}=\left[ \begin{matrix} V_a& V_b& V_c\\ \end{matrix} \right] ^T \\ \vec{i}_{abc}=\left[ \begin{matrix} i_a& i_b& i_c\\ \end{matrix} \right] ^T \\ \vec{\psi}_{abc}=\left[ \begin{matrix} \psi _a& \psi _b& \psi _c\\ \end{matrix} \right] ^TVabc=[VaVbVc]Tiabc=[iaibic]Tψabc=[ψaψbψc]T

自感计算方法

单独推导了自感的计算方法，见单独的超链接如下。
自感计算推导
Laa=Lls+LA+LBcos⁡(2θ)Lbb=Lls+LA+LBcos⁡(43π−2θ)Lbb=Lls+LA+LBcos⁡(43π+2θ)L_{aa}=L_{ls}+L_A+L_B\cos \left( 2\theta \right) \\ L_{bb}=L_{ls}+L_A+L_B\cos \left( \frac{4}{3}\pi -2\theta \right) \\ L_{bb}=L_{ls}+L_A+L_B\cos \left( \frac{4}{3}\pi +2\theta \right) Laa=Lls+LA+LBcos(2θ)Lbb=Lls+LA+LBcos(34π−2θ)Lbb=Lls+LA+LBcos(34π+2θ)

相间互感的计算方法

单独推导了相间互感计算方法，见单独的超链接如下。
相间互感计算方法
Lab=−LA2+LBcos⁡(2θ−23π)Lac=−LA2+LBcos⁡(2θ+23π)Lbc=−LA2+LBcos⁡(2θ)L_{ab}=-\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right) \\ L_{ac}=-\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right) \\ L_{bc}=-\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta \right) Lab=−2LA+LBcos(2θ−32π)Lac=−2LA+LBcos(2θ+32π)Lbc=−2LA+LBcos(2θ)
LAL_ALA表示静止坐标系下，每相自感的平均值；LBL_BLB表示静止坐标系下每项自感波动分量的最大值；

定子绕组交链转子磁链的部分

ψaf=ψfcos⁡(θ)ψbf=ψfcos⁡(θ−23π)ψcf=ψfcos⁡(θ+23π)\psi _{af}=\psi _f\cos \left( \theta \right) \\ \psi _{bf}=\psi _f\cos \left( \theta -\frac{2}{3}\pi \right) \\ \psi _{cf}=\psi _f\cos \left( \theta +\frac{2}{3}\pi \right) ψaf=ψfcos(θ)ψbf=ψfcos(θ−32π)ψcf=ψfcos(θ+32π)

定子绕组磁链（矩阵形式）

ψ⃗abc=[LaaLabLacLbaLbbLbcLcaLcbLcc][iaibic]+[cos⁡θcos⁡(23π−θ)cos⁡(23π+θ)]ψf\vec{\psi}_{abc}=\left[ \begin{matrix} L_{aa}& L_{ab}& L_{ac}\\ L_{ba}& L_{bb}& L_{bc}\\ L_{ca}& L_{cb}& L_{cc}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \cos \theta\\ \cos \left( \frac{2}{3}\pi -\theta \right)\\ \cos \left( \frac{2}{3}\pi +\theta \right)\\ \end{array} \right] \psi _f ψabc=⎣⎡LaaLbaLcaLabLbbLcbLacLbcLcc⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+⎣⎡cosθcos(32π−θ)cos(32π+θ)⎦⎤ψf

转化为空间复矢量

计算定子电流产生的磁链复矢量

Ls=[Lls+LA+LBcos⁡(2θa)−12LA+LBcos⁡(2θ−23π)−LA2+LBcos⁡(2θ+23π)−12LA+LBcos⁡(2θ−23π)Lls+LA+LBcos⁡(2θ+23π)−LA2+LBcos⁡(2θ)−LA2+LBcos⁡(2θ+23π)−LA2+LBcos⁡(2θ)Lls+LA+LBcos⁡(2θ−23π)]L_s=\left[ \begin{matrix} L_{ls}+L_A+L_B\cos \left( 2\theta _a \right)& -\frac{1}{2}L_A+L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& -\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\\ -\frac{1}{2}L_A+L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_{ls}+L_A+L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& -\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta \right)\\ -\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& -\frac{L_A}{2}+L_B\cos \left( 2\theta \right)& L_{ls}+L_A+L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\\ \end{matrix} \right] Ls=⎣⎡Lls+LA+LBcos(2θa)−21LA+LBcos(2θ−32π)−2LA+LBcos(2θ+32π)−21LA+LBcos(2θ−32π)Lls+LA+LBcos(2θ+32π)−2LA+LBcos(2θ)−2LA+LBcos(2θ+32π)−2LA+LBcos(2θ)Lls+LA+LBcos(2θ−32π)⎦⎤
将电感矩阵可以分拆为三个电感矩阵以便计算：
Ls=L1+L2+L3L1=[Lls000Lls000Lls];L2=[LA−12LA−12LA−12LALA−12LA−12LA−12LALA];L3=[LBcos⁡(2θa)LBcos⁡(2θ−23π)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ−23π)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ)LBcos⁡(2θ−23π)]L_s=L_1+L_2+L_3 \\ L_1=\left[ \begin{matrix} L_{ls}& 0& 0\\ 0& L_{ls}& 0\\ 0& 0& L_{ls}\\ \end{matrix} \right] ;L_2=\left[ \begin{matrix} L_A& -\frac{1}{2}L_A& -\frac{1}{2}L_A\\ -\frac{1}{2}L_A& L_A& -\frac{1}{2}L_A\\ -\frac{1}{2}L_A& -\frac{1}{2}L_A& L_A\\ \end{matrix} \right] ; \\ L_3=\left[ \begin{matrix} L_B\cos \left( 2\theta _a \right)& L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\\ L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta \right)\\ L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta \right)& L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\\ \end{matrix} \right] Ls=L1+L2+L3L1=⎣⎡Lls000Lls000Lls⎦⎤;L2=⎣⎡LA−21LA−21LA−21LALA−21LA−21LA−21LALA⎦⎤;L3=⎣⎡LBcos(2θa)LBcos(2θ−32π)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ−32π)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ)LBcos(2θ−32π)⎦⎤

计算磁链复矢量：
ψ⃗s=23[1aa2][ψaψbψc]ψ⃗s=23[1aa2][L1+L2+L3][iaibic]\vec{\psi}_s=\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \psi _a\\ \psi _b\\ \psi _c\\ \end{array} \right] \\ \vec{\psi}_s=\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ L_1+L_2+L_3 \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] ψs=32[1aa2]⎣⎡ψaψbψc⎦⎤ψs=32[1aa2][L1+L2+L3]⎣⎡iaibic⎦⎤
带入L1,L2,L3可得：
ψ⃗s=23[1aa2][Lls000Lls000Lls][iaibic]+23[1aa2][LA−12LA−12LA−12LALA−12LA−12LA−12LALA][iaibic]+23[1aa2][LBcos⁡(2θa)LBcos⁡(2θ−23π)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ−23π)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ)LBcos⁡(2θ−23π)][iaibic]\vec{\psi}_s=\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_{ls}& 0& 0\\ 0& L_{ls}& 0\\ 0& 0& L_{ls}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] +\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_A& -\frac{1}{2}L_A& -\frac{1}{2}L_A\\ -\frac{1}{2}L_A& L_A& -\frac{1}{2}L_A\\ -\frac{1}{2}L_A& -\frac{1}{2}L_A& L_A\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] \\ +\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_B\cos \left( 2\theta _a \right)& L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\\ L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta \right)\\ L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta \right)& L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] ψs=32[1aa2]⎣⎡Lls000Lls000Lls⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+32[1aa2]⎣⎡LA−21LA−21LA−21LALA−21LA−21LA−21LALA⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+32[1aa2]⎣⎡LBcos(2θa)LBcos(2θ−32π)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ−32π)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ)LBcos(2θ−32π)⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤
前两项可以可以容易计算得到：
Llsi⃗s+32LAi⃗sL_{ls}\vec{i}_s+\frac{3}{2}L_A\vec{i}_s Llsis+23LAis
下面着重计算第三项：
23[1aa2][LBcos⁡(2θa)LBcos⁡(2θ−23π)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ−23π)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ)LBcos⁡(2θ+23π)LBcos⁡(2θ)LBcos⁡(2θ−23π)][iaibic]\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_B\cos \left( 2\theta _a \right)& L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\\ L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta \right)\\ L_B\cos \left( 2\theta +\frac{2}{3}\pi \right)& L_B\cos \left( 2\theta \right)& L_B\cos \left( 2\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] 32[1aa2]⎣⎡LBcos(2θa)LBcos(2θ−32π)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ−32π)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ)LBcos(2θ+32π)LBcos(2θ)LBcos(2θ−32π)⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤
根据欧拉公式有：
a=ej2π3;a2=e−j2π3;cos⁡θ=ejθ+e−jθ2a=e^{j\frac{2\pi}{3}};a^2=e^{-j\frac{2\pi}{3}}; \cos \theta =\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2} a=ej32π;a2=e−j32π;cosθ=2ejθ+e−jθ

因此可化简为：
23LB[1aa2][cos⁡(2θa)cos⁡(2θa−23π)cos⁡(2θa+23π)cos⁡(2θa−23π)cos⁡(2θa+23π)cos⁡(2θa)cos⁡(2θa+23π)cos⁡(2θa)cos⁡(2θa−23π)][iaibic]=13LB[1ej2π3e−j2π3][ej2θaej(2θa−23π)ej(2θa+23π)ej(2θa−23π)ej(2θa+23π)ej2θaej(2θa+23π)ej2θaej(2θa−23π)][iaibic]+13LB[1ej2π3e−j2π3][e−j2θae−j(2θa−23π)e−j(2θa+23π)ej(−2θa+23π)e−j(2θa+23π)e−j2θaej(−2θa−23π)e−j2θae−j(2θa−23π)][iaibic]\frac{2}{3}L_B\left[ \begin{matrix} 1& a& a^2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \left( 2\theta _a \right)& \cos \left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)& \cos \left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)\\ \cos \left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)& \cos \left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)& \cos \left( 2\theta _a \right)\\ \cos \left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)& \cos \left( 2\theta _a \right)& \cos \left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] \\ =\frac{1}{3}L_B\left[ \begin{matrix} 1& e^{j\frac{2\pi}{3}}& e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} e^{j2\theta _a}& e^{j\left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{j\left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}\\ e^{j\left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{j\left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{j2\theta _a}\\ e^{j\left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{j2\theta _a}& e^{j\left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] \\ +\frac{1}{3}L_B\left[ \begin{matrix} 1& e^{j\frac{2\pi}{3}}& e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} e^{-j2\theta _a}& e^{-j\left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{-j\left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}\\ e^{j\left( -2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{-j\left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{-j2\theta _a}\\ e^{j\left( -2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}& e^{-j2\theta _a}& e^{-j\left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] 32LB[1aa2]⎣⎡cos(2θa)cos(2θa−32π)cos(2θa+32π)cos(2θa−32π)cos(2θa+32π)cos(2θa)cos(2θa+32π)cos(2θa)cos(2θa−32π)⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤=31LB[1ej32πe−j32π]⎣⎢⎡ej2θaej(2θa−32π)ej(2θa+32π)ej(2θa−32π)ej(2θa+32π)ej2θaej(2θa+32π)ej2θaej(2θa−32π)⎦⎥⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+31LB[1ej32πe−j32π]⎣⎢⎡e−j2θaej(−2θa+32π)ej(−2θa−32π)e−j(2θa−32π)e−j(2θa+32π)e−j2θae−j(2θa+32π)e−j2θae−j(2θa−32π)⎦⎥⎤⎣⎡iaibic⎦⎤
=13LB[3ej2θa3ej(2θa−23π)3ej(2θa+23π)][iaibic]+13LB[000][iaibic]=32LBi⃗s∗ej2θai⃗s∗为共轭电流矢量,因此可得定子电流产生的定子磁链分量为：ψ⃗s1=(Lls+32LA)i⃗s+32LBi⃗s∗ej2θa=\frac{1}{3}L_B\left[ \begin{matrix} 3e^{j2\theta _a}& 3e^{j\left( 2\theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}& 3e^{j\left( 2\theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] +\frac{1}{3}L_B\left[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_a\\ i_b\\ i_c\\ \end{array} \right] \\ =\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a} \\ \vec{i}_{s}^{*}\text{为共轭电流矢量,} 因此可得定子电流产生的定子磁链分量为： \\ \vec{\psi}_{s1}=\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \vec{i}_s+\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a} =31LB[3ej2θa3ej(2θa−32π)3ej(2θa+32π)]⎣⎡iaibic⎦⎤+31LB[000]⎣⎡iaibic⎦⎤=23LBis∗ej2θais∗为共轭电流矢量,因此可得定子电流产生的定子磁链分量为：ψs1=(Lls+23LA)is+23LBis∗ej2θa

计算转子磁场在定子产生的磁链

ψ⃗sf=23[1ej2π3e−j2π3][cos⁡θacos⁡(23π−θa)cos⁡(23π+θa)]ψf=13[1ej2π3e−j2π3][ejθaej(θa−23π)ej(θa+23π)]ψf+13[1ej2π3e−j2π3][e−jθae−j(θa−23π)e−j(θa+23π)]ψf=ψfejθa\vec{\psi}_{sf}=\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& e^{j\frac{2\pi}{3}}& e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \cos \theta _a\\ \cos \left( \frac{2}{3}\pi -\theta _a \right)\\ \cos \left( \frac{2}{3}\pi +\theta _a \right)\\ \end{array} \right] \psi _f \\ =\frac{1}{3}\left[ \begin{matrix} 1& e^{j\frac{2\pi}{3}}& e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} e^{j\theta _a}\\ e^{j\left( \theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}\\ e^{j\left( \theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}\\ \end{array} \right] \psi _f+\frac{1}{3}\left[ \begin{matrix} 1& e^{j\frac{2\pi}{3}}& e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} e^{-j\theta _a}\\ e^{-j\left( \theta _a-\frac{2}{3}\pi \right)}\\ e^{-j\left( \theta _a+\frac{2}{3}\pi \right)}\\ \end{array} \right] \psi _f \\ =\psi _fe^{j\theta _a} ψsf=32[1ej32πe−j32π]⎣⎡cosθacos(32π−θa)cos(32π+θa)⎦⎤ψf=31[1ej32πe−j32π]⎣⎢⎡ejθaej(θa−32π)ej(θa+32π)⎦⎥⎤ψf+31[1ej32πe−j32π]⎣⎢⎡e−jθae−j(θa−32π)e−j(θa+32π)⎦⎥⎤ψf=ψfejθa

定子总磁链

ψ⃗s=(Lls+32LA)i⃗s+32LBi⃗s∗ej2θa+ψfejθa\vec{\psi}_s=\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \vec{i}_s+\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a}+\psi _fe^{j\theta _a} ψs=(Lls+23LA)is+23LBis∗ej2θa+ψfejθa

电压方程的复失量形式

u⃗s=Rsi⃗s+ddtψ⃗su⃗s=Rsi⃗s+ddt[(Lls+32LA)i⃗s+32LBi⃗s∗ej2θa+ψfejθa]u⃗se−jθa=Rsi⃗se−jθa+e−jθaddt[(Lls+32LA)(i⃗dqsejθa)+32LBi⃗s∗ej2θa+ψfejθa]根据以下公式：32LBi⃗s∗ej2θa=32LBi⃗dqs∗ejθau⃗dqs=Rsi⃗dqs+(Lls+32LA)ddti⃗dqs+jωr(Lls+32LA)i⃗dqs+32LBddti⃗dqs∗+jωr32LBi⃗dqs∗+jωrΨf\vec{u}_s=R_s\vec{i}_s+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_s \\ \vec{u}_s=R_s\vec{i}_s+\frac{d}{dt}\left[ \left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \vec{i}_s+\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a}+\psi _fe^{j\theta _a} \right] \\ \vec{u}_se^{-j\theta _a}=R_s\vec{i}_se^{-j\theta _a}+e^{-j\theta _a}\frac{d}{dt}\left[ \left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \left( \vec{i}_{dqs}e^{j\theta _a} \right) +\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a}+\psi _fe^{j\theta _a} \right] \\ \text{根据以下公式：} \\ \frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a}=\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{dqs}^{*}e^{j\theta _a} \\ \vec{u}_{dqs}=R_s\vec{i}_{dqs}+\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \frac{d}{dt}\vec{i}_{dqs}+j\omega _r\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \vec{i}_{dqs}+\frac{3}{2}L_B\frac{d}{dt}\vec{i}_{dqs}^{*}+j\omega _r\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{dqs}^{*}+j\omega _r\varPsi _f us=Rsis+dtdψsus=Rsis+dtd[(Lls+23LA)is+23LBis∗ej2θa+ψfejθa]use−jθa=Rsise−jθa+e−jθadtd[(Lls+23LA)(idqsejθa)+23LBis∗ej2θa+ψfejθa]根据以下公式：23LBis∗ej2θa=23LBidqs∗ejθaudqs=Rsidqs+(Lls+23LA)dtdidqs+jωr(Lls+23LA)idqs+23LBdtdidqs∗+jωr23LBidqs∗+jωrΨf
根据以下公式：i⃗dqs∗=id−jiq,i⃗dqs=id+jiq可以化简得到电压方程：usd=Rsisd+(Lls+32LA)ddtisd+32LBddtisd−ωr(Lls+32LA)isq+ωr32LBi⃗squsd=Rsisq+(Lls+32LA)ddtisq−32LBddtisd+ωr(Lls+32LA)isd+ωr32LBi⃗sd+ωrΨf令：Ld=Lls+32(LA+LB);Lq=Lls+32(LA−LB)化简可得：usd=Rsisd+Lddisddt−ωrLqisq同理可得：usd=Rsisq+Lqdisqdt+ωrLdisd+ωrΨf\text{根据以下公式：}\vec{i}_{dqs}^{*}=i_d-ji_q,\vec{i}_{dqs}=i_d+ji_q \\ \text{可以化简得到电压方程：} \\ u_{sd}=R_si_{sd}+\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \frac{d}{dt}i_{sd}+\frac{3}{2}L_B\frac{d}{dt}i_{sd}-\omega _r\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) i_{sq}+\omega _r\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{sq} \\ u_{sd}=R_si_{sq}+\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \frac{d}{dt}i_{sq}-\frac{3}{2}L_B\frac{d}{dt}i_{sd}+\omega _r\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) i_{sd}+\omega _r\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{sd}+\omega _r\varPsi _f \\ \text{令：}L_d=L_{ls}+\frac{3}{2}\left( L_A+L_B \right) ;L_q=L_{ls}+\frac{3}{2}\left( L_A-L_B \right) \\ \text{化简可得：}u_{sd}=R_si_{sd}+L_d\frac{di_{sd}}{dt}-\omega _rL_qi_{sq} \\ \text{同理可得：}u_{sd}=R_si_{sq}+L_q\frac{di_{sq}}{dt}+\omega _rL_di_{sd}+\omega _r\varPsi _f 根据以下公式：idqs∗=id−jiq,idqs=id+jiq可以化简得到电压方程：usd=Rsisd+(Lls+23LA)dtdisd+23LBdtdisd−ωr(Lls+23LA)isq+ωr23LBisqusd=Rsisq+(Lls+23LA)dtdisq−23LBdtdisd+ωr(Lls+23LA)isd+ωr23LBisd+ωrΨf令：Ld=Lls+23(LA+LB);Lq=Lls+23(LA−LB)化简可得：usd=Rsisd+Lddtdisd−ωrLqisq同理可得：usd=Rsisq+Lqdtdisq+ωrLdisd+ωrΨf

静止两相坐标系模型推导

静止坐标系下推导磁链矢量：
ψ⃗s=(Lls+32LA)i⃗s+32LBi⃗s∗ej2θa+ψfejθaψ⃗s=(Lls+32LA)(iα+jiβ)+32LB(iα−jiβ)(cos⁡2θr+jsin⁡2θr)+ψf(cos⁡θr+jsin⁡θr)ψ⃗s=[(Lls+32LA)+32LBcos⁡2θr]iα+32LBsin⁡2θriβ+ψfcos⁡θr+j[(Lls+32LA)−32LBcos⁡2θr]iβ+j32LBsin⁡2θriα+jψfsin⁡θrψ⃗s=[(Lls+32LA)+32LBcos⁡2θr32LBsin⁡2θr32LBsin⁡2θr(Lls+32LA)−32LBcos⁡2θr][iαiβ]+[ψfcos⁡θrψfsin⁡θr]\vec{\psi}_s=\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \vec{i}_s+\frac{3}{2}L_B\vec{i}_{s}^{*}e^{j2\theta _a}+\psi _fe^{j\theta _a} \\ \vec{\psi}_s=\left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) \left( i_{\alpha}+ji_{\beta} \right) +\frac{3}{2}L_B\left( i_{\alpha}-ji_{\beta} \right) \left( \cos 2\theta _r+j\sin 2\theta _r \right) +\psi _f\left( \cos \theta _r+j\sin \theta _r \right) \\ \vec{\psi}_s=\left[ \left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) +\frac{3}{2}L_B\cos 2\theta _r \right] i_{\alpha}+\frac{3}{2}L_B\sin 2\theta _ri_{\beta}+\psi _f\cos \theta _r \\ +j\left[ \left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) -\frac{3}{2}L_B\cos 2\theta _r \right] i_{\beta}+j\frac{3}{2}L_B\sin 2\theta _ri_{\alpha}+j\psi _f\sin \theta _r \\ \vec{\psi}_s=\left[ \begin{matrix} \left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) +\frac{3}{2}L_B\cos 2\theta _r& \frac{3}{2}L_B\sin 2\theta _r\\ \frac{3}{2}L_B\sin 2\theta _r& \left( L_{ls}+\frac{3}{2}L_A \right) -\frac{3}{2}L_B\cos 2\theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \psi _f\cos \theta _r\\ \psi _f\sin \theta _r\\ \end{array} \right] ψs=(Lls+23LA)is+23LBis∗ej2θa+ψfejθaψs=(Lls+23LA)(iα+jiβ)+23LB(iα−jiβ)(cos2θr+jsin2θr)+ψf(cosθr+jsinθr)ψs=[(Lls+23LA)+23LBcos2θr]iα+23LBsin2θriβ+ψfcosθr+j[(Lls+23LA)−23LBcos2θr]iβ+j23LBsin2θriα+jψfsinθrψs=[(Lls+23LA)+23LBcos2θr23LBsin2θr23LBsin2θr(Lls+23LA)−23LBcos2θr][iαiβ]+[ψfcosθrψfsinθr]
进行变量代换：
根据电感定义：Ld=Lls+32LA+32LBLq=Lls+32LA−32LB可得：Lls+32LA=Ld+Lq2,32LB=Ld−Lq2分别令：Lls+32LA=L1，32LB=L2因此：ψ⃗s=[L1+L2cos⁡2θrL2sin⁡2θrL2sin⁡2θrL1−L2cos⁡2θr][iαiβ]+[ψfcos⁡θrψfsin⁡θr]\text{根据电感定义：} \\ L_d=L_{ls}+\frac{3}{2}L_A+\frac{3}{2}L_B \\ L_q=L_{ls}+\frac{3}{2}L_A-\frac{3}{2}L_B \\ \text{可得：}L_{ls}+\frac{3}{2}L_A=\frac{L_d+L_q}{2},\frac{3}{2}L_B=\frac{L_d-L_q}{2} \\ \text{分别令：}L_{ls}+\frac{3}{2}L_A=L_1\text{，}\frac{3}{2}L_B=L_2 \\ \text{因此：} \\ \vec{\psi}_s=\left[ \begin{matrix} L_1+L_2\cos 2\theta _r& L_2\sin 2\theta _r\\ L_2\sin 2\theta _r& L_1-L_2\cos 2\theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \psi _f\cos \theta _r\\ \psi _f\sin \theta _r\\ \end{array} \right] 根据电感定义：Ld=Lls+23LA+23LBLq=Lls+23LA−23LB可得：Lls+23LA=2Ld+Lq,23LB=2Ld−Lq分别令：Lls+23LA=L1，23LB=L2因此：ψs=[L1+L2cos2θrL2sin2θrL2sin2θrL1−L2cos2θr][iαiβ]+[ψfcosθrψfsinθr]
因此可得静止两相坐标系下的电压方程：
u⃗s=Rsi⃗s+ddtψ⃗sψ⃗s=[L1+L2cos⁡2θrL2sin⁡2θrL2sin⁡2θrL1−L2cos⁡2θr][iαiβ]+[cos⁡θrsin⁡θr]ψf\vec{u}_s=R_s\vec{i}_s+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_s \\ \vec{\psi}_s=\left[ \begin{matrix} L_1+L_2\cos 2\theta _r& L_2\sin 2\theta _r\\ L_2\sin 2\theta _r& L_1-L_2\cos 2\theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \cos \theta _r\\ \sin \theta _r\\ \end{array} \right] \psi _f us=Rsis+dtdψsψs=[L1+L2cos2θrL2sin2θrL2sin2θrL1−L2cos2θr][iαiβ]+[cosθrsinθr]ψf
另外可得αβ\alpha\betaαβ坐标系下的另外一种形式：
[iαiβ]=[cos⁡θr−sin⁡θrsin⁡θrcos⁡θr][idiq]ψ⃗s=[L1+L2cos⁡2θrL2sin⁡2θrL2sin⁡2θrL1−L2cos⁡2θr][cos⁡θr−sin⁡θrsin⁡θrcos⁡θr][idiq]+[cos⁡θrsin⁡θr]ψfψ⃗s=[L11L12L21L22][idiq]+[cos⁡θrsin⁡θr]ψfL11=L1cos⁡θr+L2cos⁡2θrcos⁡θr+L2sin⁡2θrsin⁡θr=(L1+L2)cos⁡θrL12=(L2−L1)sin⁡θrL21=(L1+L2)sin⁡θrL22=(L1−L2)cos⁡θr因为：L1+L2=Ld；L1−L2=Lq;因此：ψ⃗s=[cos⁡θr−sin⁡θrsin⁡θrcos⁡θr][Ldid+ψfLqiq]\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _r& -\sin \theta _r\\ \sin \theta _r& \cos \theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] \\ \vec{\psi}_s=\left[ \begin{matrix} L_1+L_2\cos 2\theta _r& L_2\sin 2\theta _r\\ L_2\sin 2\theta _r& L_1-L_2\cos 2\theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta _r& -\sin \theta _r\\ \sin \theta _r& \cos \theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \cos \theta _r\\ \sin \theta _r\\ \end{array} \right] \psi _f \\ \vec{\psi}_s=\left[ \begin{matrix} L_{11}& L_{12}\\ L_{21}& L_{22}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \cos \theta _r\\ \sin \theta _r\\ \end{array} \right] \psi _f \\ L_{11}=L_1\cos \theta _r+L_2\cos 2\theta _r\cos \theta _r+L_2\sin 2\theta _r\sin \theta _r=\left( L_1+L_2 \right) \cos \theta _r \\ L_{12}=\left( L_2-L_1 \right) \sin \theta _r \\ L_{21}=\left( L_1+L_2 \right) \sin \theta _r \\ L_{22}=\left( L_1-L_2 \right) \cos \theta _r \\ \text{因为：}L_1+L_2=L_d\text{；}L_1-L_2=L_q; \\ \text{因此：}\vec{\psi}_s=\left[ \begin{matrix} \cos \theta _r& -\sin \theta _r\\ \sin \theta _r& \cos \theta _r\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} L_di_d+\psi _f\\ L_qi_q\\ \end{array} \right] [iαiβ]=[cosθrsinθr−sinθrcosθr][idiq]ψs=[L1+L2cos2θrL2sin2θrL2sin2θrL1−L2cos2θr][cosθrsinθr−sinθrcosθr][idiq]+[cosθrsinθr]ψfψs=[L11L21L12L22][idiq]+[cosθrsinθr]ψfL11=L1cosθr+L2cos2θrcosθr+L2sin2θrsinθr=(L1+L2)cosθrL12=(L2−L1)sinθrL21=(L1+L2)sinθrL22=(L1−L2)cosθr因为：L1+L2=Ld；L1−L2=Lq;因此：ψs=[cosθrsinθr−sinθrcosθr][Ldid+ψfLqiq]

总结推导的难点

互感的计算；需要利用双反应定律
复矢量合成时，二倍频分量的处理，需要利用欧拉公式计算；
进行dq轴变换时，需要注意负序电流的处理，负序电流的作用产生了dq轴不同电感的区别，可见负序分量电流矢量在永磁同步电机中的关键作用；
薛承基的书籍中有大量的错误，如P104页，错误非常多；
静止两相坐标系下的磁链矩阵存在2次谐波项，无法通过静止两相坐标系进行磁链观测，除非是隐极电机。
在静止两相坐标系下，主要L1和L2的物理意义。L1指漏感+1.5倍定子每相平均电感，L2指1.5倍定子电感脉动分量的最大值。L1和L2与Ld，Lq存在明确关系。
Lls+32LA=L1，32LB=L2Ld=L1+L2Lq=L1−L2L_{ls}+\frac{3}{2}L_A=L_1\text{，}\frac{3}{2}L_B=L_2 \\ L_d=L_1+L_2 \\ L_q=L_1-L_2 Lls+23LA=L1，23LB=L2Ld=L1+L2Lq=L1−L2

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