Factorized Graph Matching
{
推导：7式
(3) vec(X)TKvec(X)vec(X)^TKvec(X)
(6) K=diag(vec(Kp))+(G2⊗G1)diag(vec(Kq))(H2⊗H1)TK = diag(vec(K_p))+(G_2\otimes G_1)diag(vec(K_q))(H_2\otimes H_1)^T
将(6)式代入(3)式得到:
\begin{align} &vec(X)^T(diag(vec(K_p))+(G_2\otimes G_1)diag(vec(K_q))(H_2\otimes H_1)^T)vec(X)\\ &=vec(X)^Tdiag(vec(K_p))vec(X)+vec(X)^T(G_2\otimes G_1)diag(vec(K_q))(H_2\otimes H_1)^Tvec(X)\\ &=vec(K_p)^Tvec(X\circ X)+vec(G_1^TXG_2)^Tdiag(vec(K_q))vec(H_1^TXH_2) ①\\ &=tr(K_p^TX)+vec(K_q)^Tvec(G_1^TXG_2\circ H_1^TXH_2)②\\ &=tr(K_p^TX)+tr(K_q^T(G_1^TXG_2\circ H_1^TXH_2)) \end{align}
①
(A⊗B)T=AT⊗BT(A\otimes B)^T=A^T \otimes B^T(引用于matrix cookbook (510))
vec(AXB)=(BT⊗A)vec(X)vec(AXB)=(B^T\otimes A)vec(X)(引用于matrix cookbook (520))
②
Tr(ATB)=vec(A)Tvec(B)Tr(A^TB)=vec(A)^Tvec(B)(引用于matrix cookbook (521))
}
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