测度论与概率论基础学习笔记7—

学习测度论，就能得到对积分的更本质和深刻的理解。

1.非负简单函数的积分
先补充简单函数的概念：(造化不够，经常漏概念！)
定义：简单函数：设f(x)f(x)f(x)的定义域EEE可分为有限个不相交的可测集E1,E2,…,EnE_1,E_2,\dots,E_nE1,E2,…,En，且∪iEi=E\cup_iE_i=E∪iEi=E，若函数在每个可测集EiE_iEi上的取值都为一个常数CiC_iCi，则称其为简单函数。所以简单函数也可以说成是阶梯函数。

设fff是简单函数，则存在测度空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)的有限可测分割{Ai}\{A_i \}{Ai}和实数{ai}\{a_i\}{ai}使得f=∑iaiIAif=\sum_{i}a_iI_{A_i}f=∑iaiIAi，其中III是指示函数。因此，我们可以如下定义积分：
∫Xfdμ=∑i=1naiμ(Ai)\int_{X}fd\mu=\sum_{i=1}^n a_i\mu(A_i)∫Xfdμ=i=1∑naiμ(Ai)
因此，该积分本质上就是（有限可测分割的）测度的加权平均和。

命题1：非负简单函数积分的性质：

指示函数的积分就是测度:∫XIAdμ=μ(A)\int_X I_Ad\mu=\mu(A)∫XIAdμ=μ(A)
非负
线性性
大小关系：若f≥gf\ge gf≥g，则∫Xfdμ≥∫Xgdμ\int_Xfd\mu\ge\int_Xgd\mu∫Xfdμ≥∫Xgdμ
极限：若lim⁡n→∞fn≥g\lim_{n\to\infty}f_n\ge glimn→∞fn≥g，则lim⁡n→∞∫Xfndμ≥∫Xgdμ\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu\ge\int_Xgd\mulimn→∞∫Xfndμ≥∫Xgdμ

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2.非负可测函数的积分
讲完了非负简单函数，再看非负可测函数的积分。定义如下：
∫Xfdμ=defsup⁡{∫Xgdμ:g非负简单且g≤f}\int_Xfd\mu\stackrel{def}{=} \sup\{\int_Xgd\mu:g非负简单且g\le f\}∫Xfdμ=defsup{∫Xgdμ:g非负简单且g≤f}

命题2：非负可测函数积分的性质
线性性与非负性和非负简单函数积分相同，下面重点看这个：
若{fn}\{f_n\}{fn}是非负简单函数且fn↑ff_n\uparrow ffn↑f，则lim⁡n→∞∫Xfndμ=∫Xfdμ\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu=\int_Xfd\mulimn→∞∫Xfndμ=∫Xfdμ

这解决了函数列极限的积分问题。事实上，对于Riemman积分，如果函数列的极限不可积，那就不好了，但是Lebesgue积分解决了这个问题。
实际上，粗浅地讲，本节测度论中的积分与Riemman积分的不同之处就在于前者是对μ\muμ（值域）积分，而后者是分割自变量xxx。如下图所示，上面是Riemman积分，下面是本节所讲的积分。Riemman积分是无限分割，测度论的积分是有限分割。

特别地，如果Lebesgue可测函数ggg对于Lebuesgue测度λ\lambdaλ的积分存在，则称之为Lebesgue积分，即：
∫Rg(x)dx=def∫Rgdλ\int_{\mathbf R}g(x)dx\stackrel{def}{=}\int_{\mathbf R}gd\lambda∫Rg(x)dx=def∫Rgdλ
因此，Riemman积分实际上是Lebesgue积分的特殊情形。
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3.一般可测函数的积分
对于不一定非负的可测函数，我们将其划分为正部和负部，正部就是其为正的部分，负部就是其为负的部分，二者是互斥的，因此：
f=f+−f−f=f^+-f^-f=f+−f−
则根据前面积分的可加性，有∫Xfdμ=∫Xf+dμ−∫Xf−dμ\int_Xfd\mu=\int_Xf^+d\mu-\int_Xf^-d\mu∫Xfdμ=∫Xf+dμ−∫Xf−dμ
因此，若等式右边的两个积分都为无穷，则左边的积分没有意义；否则称为存在或有意义。同时，若右边的两个积分都为有限数，就称fff是可积的。

定理3：
设fff是可测空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)上的可测函数：

若fff的积分存在，则∣∫Xfdμ∣≤∫X∣f∣dμ|\int_Xfd\mu| \le \int_X|f|d\mu∣∫Xfdμ∣≤∫X∣f∣dμ
fff可积当且仅当∣f∣|f|∣f∣可积
若fff可积，则∣f∣<∞a.e.|f|<\infty \space a.e.∣f∣<∞ a.e.

定理4：
设f,gf,gf,g是可测空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)上的可测函数：

零测集处积分为0.即对A∈F,μ(A)=0A\in\mathscr F ,\mu(A)=0A∈F,μ(A)=0,有∫Afdμ=0\int_Afd\mu = 0∫Afdμ=0。
若f≥ga.e.f\ge g\space a.e.f≥g a.e.,则∫Xfdμ≥∫Xgdμ\int_Xfd\mu \ge \int_Xgd\mu∫Xfdμ≥∫Xgdμ
若f=ga.e.f=g\space a.e.f=g a.e.，则只要其中任一个的积分存在，另一个的积分也存在而且两个积分值相等。

上面两个定理的证明很漂亮，在此就不记了（证明记了也是忘），这些定理基本上还是比较直观的。

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