三种LCA算法（一）：Doubly算法（倍增算法）

LCA，最近公共祖先，实现有多种不同的方法，对于树上的问题有着广泛的应用，比如树上的最短路径。

常用的解决LCA问题的算法有：Tarjan算法，Doubly/倍增算法，转化为RMQ问题等。

本文介绍基于DFS+二分搜索的在线算法，Doubly/倍增算法。（此处二分不同于二分查找算法那种）

算法初探:

对于已知的一棵树（已编号），若记录点v到根的深度为depth[v]。那么，如果节点w是u和v的祖先的话，让v向上走depth[v] - depth[w]步，u向上走depth[u] - depth[w]步，就都会走到w。因此，首先让u个v中深度较深的先向上走|depth[u] - depth[v]|步，再一步一步向上走，直到走到同一节点，就可以在O（depth[u] + depth[v]）时间内求出LCA。

主要代码：

//输入
vector<int> tree[MAX_V];//vector存树
int root;//根节点
int parent[MAX_V];//父亲节点
int depth[MAX_V];//节点的深度
void dfs(int v, int fa) {parent[v] = fa;for (int i = 0; i < tree[v].size(); i++) {if (tree[v][i] != fa) {depth[tree[v][i]] = depth[v] + 1;dfs(tree[v][i], v);}}
}
//预处理
void init() {depth[root] = 0;dfs(root, -1);
}
//计算u和v的LCA
int lca(int u, int v) {//先让u和v先走到同一深度while (depth[u] > depth[v]) u = parent[u];while (depth[v] > depth[u]) v = parent[v];//让u和v走到同一深度while (u != v) {u = parent[u];v = parent[v];}return u;
}

算法改进->倍增算法

由于节点最大深度为N，此思路对于Q次查询的复杂度为O（Q*N），如果Q相对于N较大，此算法最少会达到O（N^2）级别，算法有没有可以改进的地方呢？

在节点向上走的过程，是一步一步走的，我们可以由此改进算法，减少走的次数。

对于每个节点，记录其往上走1个节点，2个节点，4个节点，8个节点，16个节点……2^k个节点所达到的节点编号，具体为利用节点其父亲节点信息，可以通过parent2[v] = parent[parent[v]]得到其向上走两步的节点，再通过这一信息，得到parent4[v] = parent2[parent2[v]]，即其向上走四步的节点，以此类推......记录节点向上走2^k步的节点为parent[k][v]。有了k = （int）floor（logN / log（2.0））以内的所有信息，就可以二分搜索了。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int n;//节点数量 0 ~ n - 1编号
int cnt, head[100005];//前向星存树
int depth[100005];//深度
int parent[20][100005];//parent[i][v]表示v节点往上走2^i步到达的顶点
struct node {int to, next;
}edge[200010];
void add(int x, int y) {//树加边cnt++;edge[cnt].to = y;edge[cnt].next = head[x];head[x] = cnt;
}
void dfs(int x, int fa) {//DFS,搜索得每个点的深度  O（n）parent[0][x] = fa;for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {int y = edge[i].to;if (y == fa) continue;depth[y] = depth[x] + 1;dfs(y, x);}
}
void init() {//预处理，打2^k表  O（nlogn）memset(depth, 0, sizeof(depth));memset(parent, -1, sizeof(parent));dfs(0, -1);//以0为根节点  预处理出parent[0]和depthint k = (int)floor(log(n) / log(2.0));for (int i = 0; i + 1 <= k; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (parent[i][j] == -1) parent[i + 1][j] = -1;else parent[i + 1][j] = parent[i][parent[i][j]];//倍增思想}}
}
int lca(int x, int y) {//LCA  O（logn）if (depth[x] > depth[y]) swap(x, y);int k = (int)floor(log(n) / log(2.0));for (int i = 0; i <= k; i++) {//让x，y走到同一高度if ((depth[y] - depth[x]) >> i & 1) {y = parent[i][y];}}if (x == y) return x;for (int i = k; i >= 0; i--) {//二分搜索 二分搜索指的是下一个数值对应的步数是现在的一半，即二分了if (parent[i][x] != parent[i][y]) {x = parent[i][x];y = parent[i][y];}}return parent[0][x];
}
int main() {int q;int x, y;while(scanf("%d%d%d",&n,&q)!=EOF) {cnt = 0;memset(head, 0, sizeof(head));for (int i = 1; i < n; i++) {//n - 1条边scanf("%d%d", &x, &y);add(x, y);add(y, x);}init();for (int i = 0; i < q; i++) {scanf("%d%d", &x, &y);printf("%d\n", lca(x, y));}}return 0;
}

由代码实现可知，改进后的算法，即Doubly算法的复杂度为O（nlogn + Q*logn），Q为查询次数。
注：这里的2^i和二进制位密切相关，存储向上走2^i步到达的节点不是凭空而来的，目的就是之后走的步数数值的二进制位与这个相关联，相当于把数值的每个二进制位分离出来处理，减少计算量，就像快速幂计算。

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