冲激函数和傅里叶变换

冲激函数具有很好的取样特性，使得其在信号处理、图像处理等方面有着广泛的应用. 在这边文章中，我们介绍冲激函数和它的傅里叶变换. 文章的内容主要参考Rafael C. Gonzalez和Richard E. Woods所著的《数字图像处理》.

1. 冲激函数定义

定义1 连续变量tt在t=0t=0点处的冲激函数δ(t)\delta(t)定义为

δ(t)={∞,0,t=0t≠0

\delta(t)=\begin{cases}\infty, & t=0\\ 0, & t\neq 0\end{cases}
其满足等式

∫∞−∞δ(t)dt=1.

\int^{\infty}_{-\infty}\delta(t)dt=1.

假设f(t)f(t)在t=0t=0处是连续的，则冲激具有如下的取样特性

∫∞−∞f(t)δ(t)dt=f(0).

\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0).
更一般地，位于任意点 t=t0t=t_0的冲激表示为 δ(t−t0)\delta(t-t_0). 在这种情况下，取样特性为

∫∞−∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0).

\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0).

定义2 对于离散变量xx，单位离散冲激函数δ(x)\delta(x)定义为

δ(x)={1,0,x=1x≠0

\delta(x)=\begin{cases}1, & x=1\\ 0, & x\neq 0\end{cases}
其满足等式

∑x=−∞∞δ(x)=1.

\sum^{\infty}_{x=-\infty}\delta(x)=1.

离散冲激具有取样特性

∑x=−∞∞f(x)δ(x)=f(0).

\sum^{\infty}_{x=-\infty}f(x)\delta(x)=f(0).
更一般地，在 x=x0x=x_0处的取样特性为

∑−∞∞f(x)δ(x−x0)=f(x0).

\sum^{\infty}_{-\infty}f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0).

定义3 冲激串SΔT(t)S_{\Delta T}(t)是无限多个分离的周期为ΔT\Delta T的冲激之和，即

SΔT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nΔT)

S_{\Delta T}(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-n\Delta T)
其中，冲激δ(t)\delta(t)可以是连续的或离散的.

2. 傅里叶级数和傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

令i2=−1i^2=-1. 函数族{ei2πkt/T}∞k=0\{e^{i2\pi kt/T}\}^{\infty}_{k=0}在区间[−T2,T2][-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]上具有如下正交性

∫T2−T2ei2πnt/T⋅e−i2πmt/Tdt={T,0,n=mn≠m

\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}e^{i2\pi nt/T}\cdot e^{-i2\pi mt/T}dt=\begin{cases}T,& n=m\\ 0,& n\neq m\end{cases}
据此，我们可以将周期为 TT的函数f(t)f(t)表示为 傅里叶级数的形式.

定义4 假定函数f(t)f(t)为周期为TT的连续函数，则f(t)f(t)可以表示为如下傅里叶级数形式

f(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/T

f(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_n e^{i2\pi nt/T}
其中

cn=1T∫T2−T2f(t)e−i2πnt/Tdt,n=0,±1,±2,…

c_n=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-i2\pi nt/T}dt,\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots.

2.2 傅里叶变换

定义5 连续函数f(t)f(t)的傅里变换为

f(t)−→FF(μ)=∫∞−∞f(t)e−i2πμtdt

f(t)\xrightarrow{\mathcal{F}}F(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i2\pi\mu t}dt
相反地，给定F(μ)F(\mu)，我们可以通过傅里逆变换得到f(t)f(t)

F(μ)−→−−F−1f(t)=∫∞−∞F(μ)ei2πμtdμ

F(\mu)\xrightarrow{\mathcal{F}^{-1}}f(t)=\int^{\infty}_{-\infty}F(\mu)e^{i2\pi\mu t}d\mu

由傅里叶变换和傅里叶逆变换的对称性，我们得到如下性质

性质1 >

f(t)−→FF(μ)−→Ff(−t)

f(t)\xrightarrow{\mathcal{F}}F(\mu)\xrightarrow{\mathcal{F}}f(-t)

3. 冲激和冲激串的傅里叶变换

3.1 冲激的傅里叶变换

位于原点的冲激函数δ(t)\delta(t)（见定义1）的傅里叶变换为

F(μ)=∫∞−∞δ(t)e−i2πμtdt=∫∞−∞e−i2πμtδ(t)dt=e−i2πμ0=e0=1

F(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}\delta(t)e^{-i2\pi\mu t}dt=\int^{\infty}_{-\infty}e^{-i2\pi\mu t}\delta(t)dt=e^{-i2\pi\mu 0}=e^{0}=1
类似地，位于t=t0t=t_0处的冲激δ(t−t0)\delta(t-t_0)的傅里叶变换为

F(μ)=∫∞−∞δ(t−t0)e−i2πμtdt=∫∞−∞e−i2πμtδ(t−t0)dt=e−i2πμt0

F(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}\delta(t-t_0)e^{-i2\pi\mu t}dt=\int^{\infty}_{-\infty}e^{-i2\pi\mu t}\delta(t-t_0)dt=e^{-i2\pi\mu t_0}

由前面的性质1 和冲激的性质，我们可以得到如下性质

性质2

F(ei2πμt0)=δ(−t+t0)=δ(t−t0)

\mathcal{F}(e^{i2\pi\mu t_0})=\delta(-t+t_0)=\delta(t-t_0)

3.2 冲激串的傅里叶变换

冲激串SΔT(t)S_{\Delta T}(t)（见定义3）是周期为ΔT\Delta T的函数，可以表示为如下傅里叶级数（见定义4）

SΔT(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/ΔT

S_{\Delta T}(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_n e^{i2\pi nt/\Delta T}
其中

cn=1ΔT∫ΔT2−ΔT2SΔT(t)e−i2πnt/ΔTdt

c_n=\frac{1}{\Delta T}\int^{\frac{\Delta T}{2}}_{-\frac{\Delta T}{2}}S_{\Delta T}(t)e^{-i2\pi nt/\Delta T}dt
由于在区间[−ΔT2,ΔT2][-\frac{\Delta T}{2},\frac{\Delta T}{2}]的积分仅包含位于原点的冲激δ(t)\delta(t)，因此

cn=1ΔT∫ΔT2−ΔT2SΔT(t)e−i2πnt/ΔTdt=1ΔTe0=1ΔT

c_n=\frac{1}{\Delta T}\int^{\frac{\Delta T}{2}}_{-\frac{\Delta T}{2}}S_{\Delta T}(t)e^{-i2\pi nt/\Delta T}dt=\frac{1}{\Delta T}e^0=\frac{1}{\Delta T}
从而得到冲激串的傅里叶级数

SΔT(t)=1ΔT∑n=−∞∞ei2πnt/ΔT

S_{\Delta T}(t)=\frac{1}{\Delta T}\sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{i2\pi nt/\Delta T}
进一步地，由性质2可知

F(ei2πnt/ΔT)=δ(μ−nΔT)

\mathcal{F}(e^{i2\pi nt/\Delta T})=\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})
因此，冲激串SΔT(t)S_{\Delta T}(t)的傅里叶变换S(μ)S(\mu)为

S(μ)=F(SΔT(t))=1ΔT∑n=−∞∞F(ei2πnt/ΔT)=1ΔT∑n=−∞∞δ(μ−nΔT)

S(\mu)=\mathcal{F}(S_{\Delta T}(t))=\frac{1}{\Delta T}\sum^{\infty}_{n=-\infty}\mathcal{F}(e^{i2\pi nt/\Delta T})=\frac{1}{\Delta T}\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})
这个结果说明，周期为ΔT\Delta T的冲激串的傅里叶变换仍为冲激串，其周期为1ΔT\frac{1}{\Delta T}.