通信原理期末复习

ID3902009

纯手敲好累啊…，敲完感觉自己期末考试又行了hihi
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离散信息的平均信息量

H = ∑ i = 1 M p ( x i ) l o g 2 1 p ( x i ) H = \sum^M_{i=1}p(x_i)log_2\frac{1}{p(x_i)} H=i=1∑Mp(xi)log2p(xi)1

傅里叶级数变换【周期函数】

周期函数的三角形式的傅里叶级数

f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n w 1 t + b n s i n n w 1 t ) a 0 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) c o s n w 1 t d t b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) s i n n w 1 t d t f(t) = a_0 + \sum^\infty_{n=1}(a_ncosnw_1t+b_nsinnw_1t)\\ a_0 = \frac{1}{T}\int^{t_0+T}_{t_0}f(t)\ \ dt\\ a_n = \frac{2}{T}\int^{t_0+T}_{t_0}f(t)cosnw_1t\ \ dt\\ b_n = \frac{2}{T}\int^{t_0+T}_{t_0}f(t)sinnw_1t\ \ dt\\ f(t)=a0+n=1∑∞(ancosnw1t+bnsinnw1t)a0=T1∫t0t0+Tf(t) dtan=T2∫t0t0+Tf(t)cosnw1t dtbn=T2∫t0t0+Tf(t)sinnw1t dt

周期函数的余弦形式的傅里叶级数

辅助角公式： a s i n x + b c o s x = a 2 + b 2 c o s ( x + ϕ ) , 其中 t a n ϕ = − a b 由辅助角公式，将傅里叶级数 n 次正余弦分量合并： f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n w 1 t + b n s i n n w 1 t ) 得到： f ( t ) = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n c o s ( n w 1 t + ϕ n ) c 0 = a 0 c n = a n 2 + b n 2 ϕ n = a r c t a n ( − b n a n ) a n = c n c o s ϕ n b n = − c n s i n ϕ n 辅助角公式：asinx + bcosx = \sqrt{a^2+b^2}cos(x+\phi),其中tan\phi = -\frac{a}{b}\\ 由辅助角公式，将傅里叶级数n次正余弦分量合并：\\ f(t) = a_0 + \sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnw_1t+b_nsinnw_1t)\\ 得到：f(t) = c_0+\sum^{\infty}_{n=1}c_n cos(nw_1t + \phi_n)\\\\ c_0 = a_0 \ \ \ \ \ \ c_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2} \ \ \ \ \ \phi_n = arctan(\frac{-b_n}{a_n})\\ a_n = c_n cos\phi_n \ \ \ \ \ \ \ b_n = -c_nsin\phi_n 辅助角公式：asinx+bcosx=a2+b2 cos(x+ϕ),其中tanϕ=−ba由辅助角公式，将傅里叶级数n次正余弦分量合并：f(t)=a0+n=1∑∞(ancosnw1t+bnsinnw1t)得到：f(t)=c0+n=1∑∞cncos(nw1t+ϕn)c0=a0 cn=an2+bn2 ϕn=arctan(an−bn)an=cncosϕn bn=−cnsinϕn

幅度谱和相位谱

周期函数正弦形式的傅里叶级数

辅助角公式： a s i n x + b c o s x = a 2 + b 2 c o s ( x + ϕ ) , 其中 t a n ϕ = − a b 由辅助角公式，将傅里叶级数 n 次正余弦分量合并： f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n w 1 t + b n s i n n w 1 t ) 得到： f ( t ) = d 0 + ∑ n = 1 ∞ d n s i n ( n w 1 t + Θ n ) d 0 = a 0 d n = a n 2 + b n 2 Θ n = a r c t a n ( b n a n ) a n = d n s i n Θ n b n = d n c o s Θ n 辅助角公式：asinx + bcosx = \sqrt{a^2+b^2}cos(x+\phi),其中tan\phi = -\frac{a}{b}\\ 由辅助角公式，将傅里叶级数n次正余弦分量合并：\\ f(t) = a_0 + \sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnw_1t+b_nsinnw_1t)\\ 得到：f(t) = d_0+\sum^{\infty}_{n=1}d_n sin(nw_1t + \Theta_n)\\\\ d_0 = a_0 \ \ \ \ \ \ d_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2} \ \ \ \ \ \Theta_n = arctan(\frac{b_n}{a_n})\\ a_n = d_nsin\Theta_n \ \ \ \ \ \ \ b_n = d_ncos\Theta_n 辅助角公式：asinx+bcosx=a2+b2 cos(x+ϕ),其中tanϕ=−ba由辅助角公式，将傅里叶级数n次正余弦分量合并：f(t)=a0+n=1∑∞(ancosnw1t+bnsinnw1t)得到：f(t)=d0+n=1∑∞dnsin(nw1t+Θn)d0=a0 dn=an2+bn2 Θn=arctan(anbn)an=dnsinΘn bn=dncosΘn

欧拉公式||复指数||复数||复指数信号

欧拉公式： e j x = c o s x + j s i n x ， e j π + 1 = 0 复指数： e j Θ = c o s Θ + j s i n Θ 【其实就是一个单位向量，该向量的初始角度为 Θ 】复数： a + b i 虚数： j 【复数与虚数 j 相乘，等于复数向量逆时针旋转 90 度】当复指数乘于一个复数，等于该复数的向量旋转复指数的角度 Θ 复指数信号：当复指数引入一个时间变量 t 就变成了复指数信号 e j w t + ϕ \begin{align*} & 欧拉公式：e^{jx} = cosx + jsinx，e^{j\pi}+1 = 0\\ & 复指数：e^{j\Theta} = cos\Theta+jsin\Theta【其实就是一个单位向量，该向量的初始角度为\Theta】\\ & 复数：a+bi\\ & 虚数：j【复数与虚数j相乘，等于复数向量逆时针旋转90度】\\ & 当复指数乘于一个复数，等于该复数的向量旋转复指数的角度\Theta\\ & 复指数信号：当复指数引入一个时间变量t就变成了复指数信号 e^{jwt + \phi} \end{align*} 欧拉公式：ejx=cosx+jsinx，ejπ+1=0复指数：ejΘ=cosΘ+jsinΘ【其实就是一个单位向量，该向量的初始角度为Θ】复数：a+bi虚数：j【复数与虚数j相乘，等于复数向量逆时针旋转90度】当复指数乘于一个复数，等于该复数的向量旋转复指数的角度Θ复指数信号：当复指数引入一个时间变量t就变成了复指数信号ejwt+ϕ

e j w t = c o s w t + j s i n w t 【正频率，代表向量逆时针旋转】 e − j w t = c o s w t − j s i n w t 【负频率，代表向量顺时针旋转】 c o s w t = 1 2 ( e j w t + e − j w t ) s i n w t = 1 2 j ( e j w t − e − j w t ) = − j 2 ( e j w t − e − j w t ) e^{jwt} = coswt + jsinwt【正频率，代表向量逆时针旋转】\\ e^{-jwt} = coswt - jsinwt【负频率，代表向量顺时针旋转】\\ coswt = \frac{1}{2}(e^{jwt} + e^{-jwt})\\ sinwt = \frac{1}{2j}(e^{jwt}-e^{-jwt}) = \frac{-j}{2}(e^{jwt} - e^{-jwt}) ejwt=coswt+jsinwt【正频率，代表向量逆时针旋转】e−jwt=coswt−jsinwt【负频率，代表向量顺时针旋转】coswt=21(ejwt+e−jwt)sinwt=2j1(ejwt−e−jwt)=2−j(ejwt−e−jwt)

复傅里叶级数

复指数正交函数集 { e j n w t } n = 0 , ± 1 , ± 2.. f ( t ) = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n c o s ( n w t + ϕ n ) = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n 2 [ e j ( n w t + ϕ n ) + e − j ( n w t + ϕ n ) ] = c 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ c n e j ϕ n e j n w t + 1 2 ∑ n = 1 ∞ c n e − j ϕ n e − j n w t 其中： c n = a n 2 + b n 2 ϕ n = a r c t a n ( − b n a n ) a n = c n c o s ϕ n b n = − c n s i n ϕ n 对上述红色部分 1 2 ∑ n = 1 ∞ c n e − j ϕ n e − j n w t 做参数变换 − n → n c − n = c n ϕ − n → ϕ n 得到 1 2 ∑ n = 1 ∞ c n e − j ϕ n e − j n w t → 1 2 ∑ − ∞ − 1 c n e j ϕ n e j n w t 复指数正交函数集\{e^{jnwt}\} \ n = 0 ,\pm1,\pm 2..\\ \begin{align*} f(t) &= c_0 + \sum^{\infty}_{n=1}c_ncos(nwt + \phi_n)\\ &=c_0 + \sum^{\infty}_{n=1}\frac{c_n}{2}[e^{j(nwt+\phi_n)}+e^{-j(nwt+\phi_n)}]\\ &=c_0 + \frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=1}c_ne^{j\phi_n}e^{jnwt} +\color{red} \frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=1}c_ne^{-j\phi_n}e^{-jnwt}\\ \end{align*}\\ 其中：c_n = \sqrt{a_n^2+ b_n^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \phi_n = arctan(\frac{-b_n}{a_n})\\ a_n = c_ncos\phi_n\ \ \ \ \ \ \ \ b_n = -c_nsin\phi_n\\ \\ 对上述红色部分\color{red} \frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=1}c_ne^{-j\phi_n}e^{-jnwt}做参数变换\\ -n\to n\\c_{-n} = c_n\\\phi_{-n} \to \phi_{n}\\ 得到\color{red}{\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=1}c_ne^{-j\phi_n}e^{-jnwt}} \color{blue}\to \frac{1}{2}\sum^{-1}_{-\infty}c_ne^{j\phi_n}e^{jnwt} 复指数正交函数集{ejnwt} n=0,±1,±2..f(t)=c0+n=1∑∞cncos(nwt+ϕn)=c0+n=1∑∞2cn[ej(nwt+ϕn)+e−j(nwt+ϕn)]=c0+21n=1∑∞cnejϕnejnwt+21n=1∑∞cne−jϕne−jnwt其中：cn=an2+bn2 ϕn=arctan(an−bn)an=cncosϕn bn=−cnsinϕn对上述红色部分21n=1∑∞cne−jϕne−jnwt做参数变换−n→nc−n=cnϕ−n→ϕn得到21n=1∑∞cne−jϕne−jnwt→21−∞∑−1cnejϕnejnwt

因此最终可以获得复傅里叶级数的总式：
因此最终可以获得复傅里叶级数的总式： f ( t ) = 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ c n e j ϕ n e j n w t 令 F n = 1 2 c n e j ϕ n 可得指数形式的傅里叶级数 f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n w t 因此最终可以获得复傅里叶级数的总式：\\ \begin{align*} \color{black}f(t) &= \frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_ne^{j\phi_n}e^{jnwt}\\ 令F_n &= \frac{1}{2}c_ne^{j\phi_n}\\ \end{align*} \\可得指数形式的傅里叶级数\\ f(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}F_ne^{jnwt} 因此最终可以获得复傅里叶级数的总式：f(t)令Fn=21n=−∞∑∞cnejϕnejnwt=21cnejϕn可得指数形式的傅里叶级数f(t)=n=−∞∑∞Fnejnwt

傅里叶系数 F n F_n Fn求解公式：
F n = 1 2 c n e j ϕ n = 1 2 ( c n c o s ϕ n + j c n s i n ϕ n ) = 1 2 ( a n − j b n ) = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) c o s ( n w t ) d t − j 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) s i n ( n w t ) d t = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w t d t F − n = 1 2 ( c n c o s ϕ n − j c n s i n ϕ n ) = 1 2 ( a n + j b n ) \begin{align*} F_n =\color{red} {\frac{1}{2}c_ne^{j\phi_n}} &= \frac{1}{2}(c_ncos\phi_n+jc_nsin\phi_n) =\color{blue} \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\\ &= \frac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f(t)cos(nwt)dt - j\frac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f(t)sin(nwt)dt\\ &= \color{red}\frac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f(t)e^{-jnwt}dt\\ F_{-n} &= \frac{1}{2}(c_ncos\phi_n-jc_nsin\phi_n) =\color{blue} \frac{1}{2}(a_n+jb_n) \end{align*} Fn=21cnejϕnF−n=21(cncosϕn+jcnsinϕn)=21(an−jbn)=T1∫−T/2T/2f(t)cos(nwt)dt−jT1∫−T/2T/2f(t)sin(nwt)dt=T1∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdt=21(cncosϕn−jcnsinϕn)=21(an+jbn)

复傅里叶级数对

f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n w t F n = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w t d t \begin{align*} f(t) & = \sum^{\infty}_{n = -\infty}F_ne^{jnwt}\\ F_n & = \frac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f(t)e^{-jnwt}dt \end{align*} f(t)Fn=n=−∞∑∞Fnejnwt=T1∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdt

复傅里叶的幅频和相频特性

已知： F n = ∣ F n ∣ e − j ϕ n = 1 2 ( a n − j b n ) 幅频特性： ∣ F n ∣ = 1 2 a n 2 + b n 2 = 1 2 c n 相频特性： ϕ ( n w ) = a r c t a n ( − b n a n ) 双边谱 ∣ F n ∣ 是 n 的偶函数，即双边幅度谱的谱线关于纵轴对称，谱线高度是单边幅度谱的一半，但直流分量不变。 ϕ ( n w ) 是 n 的奇函数 , 双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称得到 \begin{align*} &已知：F_n = \left|F_n\right|e^{-j\phi_n} = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\\ &幅频特性：\left|F_n \right| = \frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} = \frac{1}{2}c_n\\ &相频特性：\phi(nw) = arctan(\frac{-b_n}{a_n})\\\\ &双边谱\left|F_n\right|是n的偶函数，即双边幅度谱的谱线关于\color{blue}{纵轴对称}，\color{black}谱线高度是单边幅度谱的一半，但直流分量不变。\\\\ &\phi(nw)是n的奇函数,双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点\color{blue}{奇对称}得到 \end{align*} 已知：Fn=∣Fn∣e−jϕn=21(an−jbn)幅频特性：∣Fn∣=21an2+bn2 =21cn相频特性：ϕ(nw)=arctan(an−bn)双边谱∣Fn∣是n的偶函数，即双边幅度谱的谱线关于纵轴对称，谱线高度是单边幅度谱的一半，但直流分量不变。ϕ(nw)是n的奇函数,双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称得到

周期函数傅里叶知识总结

周期信号 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式： f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n w t + b n s i n n w t ) = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n c o s ( n w t + ϕ n ) 复指数形式： f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n w t \begin{align*} &三角形式：\\ &f(t)= a_0 + \sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnwt + b_nsin nwt)\\ &=c_0 + \sum^{\infty}_{n=1}c_ncos(nwt + \phi_n)\\ &复指数形式：\\ &f(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}F_ne^{jnwt} \end{align*} 三角形式：f(t)=a0+n=1∑∞(ancosnwt+bnsinnwt)=c0+n=1∑∞cncos(nwt+ϕn)复指数形式：f(t)=n=−∞∑∞Fnejnwt
两种频谱图的关系
三角函数形式： c n ∼ w , ϕ n ∼ w 单边频谱指数函数形式： ∣ F n ∣ ∼ w , ϕ n ∼ w 双边谱谱关系 : ∣ F n ∣ = 1 2 c n ( n ≠ 0 ) F 0 = c 0 = a 0 指数形式的幅度频谱是偶函数： ∣ F n ∣ = ∣ F − n ∣ 相位频谱是奇函数： ϕ ( n ) = − ϕ ( − n ) \begin{align*} &三角函数形式：c_n \sim w,\phi_n \sim w \ \ \ \ 单边频谱\\ &指数函数形式：\left|F_n\right| \sim w,\phi_n \sim w \ \ \ \ 双边谱谱\\ &\color{blue}{关系}: \color{black}\left|F_n\right| = \frac{1}{2}c_n(n\ne 0)\ \ \ \ \ F_0 = c_0 = a_0\\ &指数形式的幅度频谱是偶函数：\left|F_n\right| = \left|F_{-n}\right| \\ &相位频谱是奇函数：\phi(n) = -\phi(-n) \end{align*} 三角函数形式：cn∼w,ϕn∼w 单边频谱指数函数形式：∣Fn∣∼w,ϕn∼w 双边谱谱关系:∣Fn∣=21cn(n=0) F0=c0=a0指数形式的幅度频谱是偶函数：∣Fn∣=∣F−n∣相位频谱是奇函数：ϕ(n)=−ϕ(−n)
周期信号的频谱是离散谱，三个性质
引入负频率

傅里叶变换【周期|非周期函数】

狄拉克函数【单位阶越函数】

条件性： δ ( t ) = + ∞ , t = 0 δ ( t ) = 0 , t ≠ 0 并且满足 : ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 δ 函数的图形表示方式很特别，通常使用一个从原点出发长度为 1 的有向线段表示其中有向线段的长度代表 δ 函数的积分值，称为冲激强度 \begin{align*} &条件性：\\ &\delta(t) = +\infty,t=0\\ &\delta(t) = 0,t\ne0\\ &并且满足:\\ &\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t)dt = 1 \\\\\\ &\delta函数的图形表示方式很特别，通常使用一个从\color{red}{原点出发长度为1}\color{black}的有向线段表示\\ &其中有向线段的长度代表\color{red}\delta函数的积分值\color{black}，称为冲激强度 \end{align*} 条件性：δ(t)=+∞,t=0δ(t)=0,t=0并且满足:∫−∞+∞δ(t)dt=1δ函数的图形表示方式很特别，通常使用一个从原点出发长度为1的有向线段表示其中有向线段的长度代表δ函数的积分值，称为冲激强度

频率密度函数

周期性功率信号 f ( t ) 的频谱： F n = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w t d t 当 T → ∞ 时 , w → d w , 变成无穷小量，谱线幅度 → 0 【 ∣ F n ∣ → 0 】虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间任有相对大小差别。因此引入频谱密度函数：单位频谱上的谱谱 \begin{align*} & 周期性功率信号f(t)的频谱：\\ & F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\ e^{-jnwt}\ \ dt\\ & 当T \to \infty 时, \ \ \ w \to dw,变成无穷小量，谱线幅度\to 0【\left|F_n\right| \to 0】\\ & 虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间\\ &任有相对大小差别。因此引入\color{red}频谱密度函数：\color{blue}单位频谱上的谱谱 \end{align*} 周期性功率信号f(t)的频谱：Fn=T1∫−T/2T/2f(t) e−jnwt dt当T→∞时, w→dw,变成无穷小量，谱线幅度→0【∣Fn∣→0】虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间任有相对大小差别。因此引入频谱密度函数：单位频谱上的谱谱

频谱密度函数：
单位频率上的频谱
f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ F n e j n w t F n = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w t d t F [ f ( t ) ] = F ( w ) = lim ⁡ T → ∞ F n 1 / T = lim ⁡ T → ∞ F n T = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t F [ f ( t ) ] = F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j 2 π f t d t \begin{align*} f(t) &=\sum_{-\infty}^{\infty}F_ne^{jnwt} \\ F_n & =\color{blue} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt}\ dt\\ \\ \mathcal{F}[f(t)] &= F(w) = \lim_{T\to \infty} \frac{F_n}{1/T} = \lim_{T \to \infty}F_nT\\ &= \lim_{T \to \infty}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt} \ dt\\ &=\color{blue}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}\ dt\\ \mathcal{F}[f(t)] &= F(f)\\ &= \color{blue}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi f t}\ dt \end{align*} f(t)FnF[f(t)]F[f(t)]=−∞∑∞Fnejnwt=T1∫−T/2T/2f(t)e−jnwt dt=F(w)=T→∞lim1/TFn=T→∞limFnT=T→∞lim∫−T/2T/2f(t)e−jnwt dt=∫−∞∞f(t)e−jwt dt=F(f)=∫−∞∞f(t)e−j2πft dt

能量信号的傅里叶变换

傅里叶的正变换 F [ f ( t ) ] = F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j 2 π f t d t F [ f ( t ) ] = F ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t 傅里叶的逆变换 F − 1 [ F ( f ) ] = f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ F ( f ) e j 2 π f t d f F − 1 [ F ( w ) ] = f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e j w t d w \begin{align*} &\color{blue}傅里叶的正变换\\ &\mathcal{F}[f(t)] &= F(f) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\\ &\mathcal{F}[f(t)] &= F(w) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}\ dt\\ &\color{blue}傅里叶的逆变换\\ &\mathcal{F^{-1}}[F(f)] &= f(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}F(f)e^{j2\pi ft}df\\ &\mathcal{F^{-1}}[F(w)] &= f(t) &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw\\ \end{align*} 傅里叶的正变换F[f(t)]F[f(t)]傅里叶的逆变换F−1[F(f)]F−1[F(w)]=F(f)=F(w)=f(t)=f(t)=∫−∞∞f(t)e−j2πft dt=∫−∞∞f(t)e−jwt dt=∫−∞∞F(f)ej2πftdf=2π1∫−∞∞F(w)ejwtdw

单位冲激函数的傅里叶变换

F [ δ ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) e − j w t d t = e − j w t ∣ t = 0 = 1 即 δ ( t ) 与 1 构成 F o u r i e r 变换对 δ ( t ) ⟷ 1 由此可见，单位冲激函数包含所有的频率成分，并且它们具有相等的幅度假设某个信号的频谱是 δ ( w ) , 根据傅里叶反变换公式 F − 1 [ δ ( w ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ δ ( w ) e j w t d w = 1 2 π e j w t ∣ w = 0 = 1 2 π F [ 1 ] = 2 π δ ( w ) \mathcal{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt = e^{-jwt}|_{t=0} = 1\\ 即\delta(t)与1构成Fourier变换对 \delta(t)\longleftrightarrow1\\ 由此可见，单位冲激函数包含所有的频率成分，并且它们具有相等的幅度\\ 假设某个信号的频谱是\delta(w),根据傅里叶反变换公式\\ \begin{align*} \mathcal{F^{-1}}[\delta(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}\delta(w)e^{jwt}dw\\ &=\frac{1}{2\pi}e^{jwt}|_{w=0}\\ &=\frac{1}{2\pi}\\ \mathcal{F}[1] &= 2\pi \delta(w) \end{align*} F[δ(t)]=∫−∞∞δ(t)e−jwtdt=e−jwt∣t=0=1即δ(t)与1构成Fourier变换对δ(t)⟷1由此可见，单位冲激函数包含所有的频率成分，并且它们具有相等的幅度假设某个信号的频谱是δ(w),根据傅里叶反变换公式F−1[δ(w)]F[1]=2π1∫−∞∞δ(w)ejwtdw=2π1ejwt∣w=0=2π1=2πδ(w)

复指数信号的傅里叶变换

F [ f ( t ) ] = F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j 2 π f t d t F [ 1 ] = δ ( f ) = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π f t d t 复指数信号 e j 2 π f 0 t F [ e j 2 π f 0 t ] = ∫ − ∞ ∞ e j 2 π f 0 t e − j 2 π f t d t = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π ( f − f 0 ) t d t = δ ( f − f 0 ) \begin{align*} \mathcal{F}[f(t)] &= F(f) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\\ \mathcal{F}[1] &= \delta(f) = \int^{\infty}_{-\infty}e^{-j2\pi ft}\ dt\\ 复指数信号 e^{j2\pi f_0t}\\ \mathcal{F}[ e^{j2\pi f_0t}] &= \int^{\infty}_{-\infty}e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\ dt\\ &=\int^{\infty}_{-\infty}e^{-j2\pi (f-f_0)t}\ dt\\ &=\delta(f-f_0) \end{align*} F[f(t)]F[1]复指数信号ej2πf0tF[ej2πf0t]=F(f)=∫−∞∞f(t)e−j2πft dt=δ(f)=∫−∞∞e−j2πft dt=∫−∞∞ej2πf0te−j2πft dt=∫−∞∞e−j2π(f−f0)t dt=δ(f−f0)

傅里叶变换公式合集

F [ e j 2 π f 0 t ] = δ ( f − f 0 ) F [ e j w 0 t ] = 2 π δ ( w − w 0 ) F [ e − j 2 π f 0 t ] = δ ( f + f 0 ) F [ e − j w 0 t ] = 2 π δ ( w + w 0 ) 余弦信号 c o s 2 π f 0 t c o s 2 π f 0 t = 1 2 ( e j 2 π f 0 t + e − j 2 π f 0 t ) F [ c o s 2 π f 0 t ] = 1 2 [ δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ] F [ c o s w 0 t ] = π [ δ ( w − w 0 ) + δ ( w + w 0 ) ] 正弦信号 s i n 2 π f 0 t s i n 2 π f 0 t = − j 2 ( e j 2 π f 0 t − e − j 2 π f 0 t ) F [ s i n 2 π f 0 t ] = j 2 [ δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 ) ] F [ s i n w 0 t ] = j π [ δ ( w + w 0 ) − δ ( w − w 0 ) ] 一般周期信号 f n o r m a l ( t ) 周期信号进行傅里叶级数展开： f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n × e j n 2 π f 0 t 傅里叶变换定义： F ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j 2 π f t d t = ∑ n = − ∞ n = ∞ c n δ ( f − n f 0 ) 周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数构成，冲激强度是傅里叶系数 c n \begin{align*} &\mathcal{F}[e^{j2\pi f_0t}]=\delta(f-f_0)&\mathcal{F}[e^{jw_0t}]=2\pi \delta(w-w_0)\\ &\mathcal{F}[e^{-j2\pi f_0t}]=\delta(f+f_0)&\mathcal{F}[e^{-jw_0t}]=2\pi \delta(w+w_0)\\ \\ &\color{red}余弦信号 cos 2\pi f_0 t\\ &cos2\pi f_0t = \frac{1}{2}(e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t})\\ &\mathcal{F}[cos2\pi f_0t ]=\frac{1}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]\\ &\mathcal{F}[cosw_0t ]=\pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)]\\ \\ &\color{red}正弦信号 sin2\pi f_0 t\\ &sin2\pi f_0t = \frac{-j}{2}(e^{j2\pi f_0 t} - e^{-j2\pi f_0 t})\\ &\mathcal{F}[sin2\pi f_0t ]=\frac{j}{2}[\delta(f+f_0)-\delta(f-f_0)]\\ &\mathcal{F}[sinw_0t ]=j\pi[\delta(w+w_0)-\delta(w-w_0)]\\ \\ &\color{red}一般周期信号f_{normal}(t)\\ &周期信号进行傅里叶级数展开：\\ &f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\times e^{jn2\pi f_0 t}\\ &傅里叶变换定义：\\ &F(w) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)\ e^{-j2\pi ft} \ dt =\sum^{n=\infty}_{n=-\infty}c_n\delta(f-nf_0)\\ &\color{blue}周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数构成，冲激强度是傅里叶系数c_n \end{align*} F[ej2πf0t]=δ(f−f0)F[e−j2πf0t]=δ(f+f0)余弦信号cos2πf0tcos2πf0t=21(ej2πf0t+e−j2πf0t)F[cos2πf0t]=21[δ(f−f0)+δ(f+f0)]F[cosw0t]=π[δ(w−w0)+δ(w+w0)]正弦信号sin2πf0tsin2πf0t=2−j(ej2πf0t−e−j2πf0t)F[sin2πf0t]=2j[δ(f+f0)−δ(f−f0)]F[sinw0t]=jπ[δ(w+w0)−δ(w−w0)]一般周期信号fnormal(t)周期信号进行傅里叶级数展开：f(t)=n=−∞∑∞cn×ejn2πf0t傅里叶变换定义：F(w)=∫−∞∞f(t) e−j2πft dt=n=−∞∑n=∞cnδ(f−nf0)周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数构成，冲激强度是傅里叶系数cnF[ejw0t]=2πδ(w−w0)F[e−jw0t]=2πδ(w+w0)

常用信号频谱函数

信号	频谱
δ ( t ) \delta(t) δ(t)	1
1	2 π δ ( w ) 2\pi \delta (w) 2πδ(w)
c o s ( w 0 t ) cos(w_0t) cos(w0t)	π [ δ ( w − w 0 ) + δ ( w + w 0 ) ] \pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)] π[δ(w−w0)+δ(w+w0)]
s i n ( w 0 t ) sin(w_0t) sin(w0t)	j π [ − δ ( w − w 0 ) + δ ( w + w 0 ) ] j\pi[-\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)] jπ[−δ(w−w0)+δ(w+w0)]
∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T 0 ) \sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT_0) ∑n=−∞∞δ(t−nT0)	w 0 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( w − n w 0 ) w_0\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(w-nw_0) w0∑n=−∞∞δ(w−nw0)
e j w 0 t e^{jw_0t} ejw0t	2 π δ ( w − w 0 ) 2\pi\delta(w-w_0) 2πδ(w−w0)

傅里叶变换的性质

时移特性 F [ f ( t ± t 0 ) ] = F ( w ) e ± j w t 0 频移特性 f ( t ) e ± j w 0 t = F [ ( w ∓ w 0 ) ] \begin{align*} &时移特性\\ &\mathcal{F}[f(t\pm t_0)] = F(w)e^{\pm jwt_0}\\ &频移特性\\ &f(t)e^{\pm jw_0 t} = F[(w \mp w_0)] \end{align*} 时移特性F[f(t±t0)]=F(w)e±jwt0频移特性f(t)e±jw0t=F[(w∓w0)]

频域的卷积定理

y ( t ) = x ( t ) h ( t ) Y ( f ) = X ( f ) ∗ H ( f ) 频谱密度的变量采用 w 时，频域卷积定理的形式为： Y ( w ) = 1 2 π X ( w ) ∗ H ( w ) \begin{align*} &y(t) = x(t) h(t)\\ &Y(f) = X(f) \ast H(f)\\ &频谱密度的变量采用w时，频域卷积定理的形式为：\\ &Y(w) = \frac{1}{2\pi}X(w)\ast H(w)\\ \end{align*} y(t)=x(t)h(t)Y(f)=X(f)∗H(f)频谱密度的变量采用w时，频域卷积定理的形式为：Y(w)=2π1X(w)∗H(w)

频域的卷积性质

与冲激函数做卷积 f ( t ) ∗ δ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ = f ( t ) 含义：信号与 δ ( t ) 卷积，得到的是信号本身与延迟冲激函数做卷积 f ( t ) ∗ δ ( t − t 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − t 0 − τ ) d τ = f ( t − t 0 ) 含义：与延迟冲激函数 δ ( t − t 0 ) 卷积，得到的是时间上延迟了 t 0 的信号频谱与冲激函数做卷积 F ( w ) ∗ δ ( w − w 0 ) = F ( w − w 0 ) 含义：信号频谱 F ( w ) 与 δ ( w − w 0 ) 卷积，得到的是频率搬移 w 0 后的频谱。 w 0 > 0 , 向右搬移 ∣ w 0 ∣ ; 反之向左搬移 ∣ w 0 ∣ \begin{align*} &\color{red}与冲激函数做卷积\\ & f(t) * \delta (t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = f(t)\\ & \color{blue}含义：\color{black}信号与\delta(t)卷积，得到的是信号本身\\ \\ & \color{red}与延迟冲激函数做卷积\\ & f(t) * \delta( t - t_0) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-t_0-\tau) d\tau = f(t- t_0)\\ & \color{blue}含义：\color{black}与延迟冲激函数\delta(t-t_0)卷积，得到的是时间上延迟了t_0的信号\\ \\ &频谱与冲激函数做卷积\\ &F(w) * \delta (w-w_0) = F(w - w_0)\\ &\color{blue}含义：\color{black}信号频谱F(w) 与\delta(w-w_0)卷积，得到的是频率\\ &搬移w_0后的频谱。w_0\gt0,向右搬移\left|w_0\right|;反之向左搬移\left|w_0\right| \end{align*} 与冲激函数做卷积f(t)∗δ(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ=f(t)含义：信号与δ(t)卷积，得到的是信号本身与延迟冲激函数做卷积f(t)∗δ(t−t0)=∫−∞∞f(τ)δ(t−t0−τ)dτ=f(t−t0)含义：与延迟冲激函数δ(t−t0)卷积，得到的是时间上延迟了t0的信号频谱与冲激函数做卷积F(w)∗δ(w−w0)=F(w−w0)含义：信号频谱F(w)与δ(w−w0)卷积，得到的是频率搬移w0后的频谱。w0>0,向右搬移∣w0∣;反之向左搬移∣w0∣

频率卷积定理的应用

恒参信道对信号传输的影响

失真
- 线性失真：即接收信号中没有发送信号所没有的频率分量。【有幅频失真、相频失真】可以使用线性网络进行补偿
- 非线性失真：即接收信号中出现了发送信号没有的频率分量【非线性谐波分量、非线性码间串扰】
频率偏移：输入信号的频谱经过信道之后参数产生了偏移
相位抖动

减小频率选择性带宽措施

应使信号带宽 B s < Δ f B_s \lt \Delta f Bs<Δf工程经验公式：
B s = ( 1 3 ∼ 1 5 ) Δ f B_s = (\frac{1}{3} \sim \frac{1}{5})\Delta f Bs=(31∼51)Δf
数字信号的码元速度：
T s = ( 3 ∼ 5 ) τ T_s = (3 \sim 5)\tau Ts=(3∼5)τ

分集接收

接收端对收到的多个衰落特性互相独立（携带统一信息）的信号进行特定处理，降低信号电平起伏的办法
前提条件

非相关条件必不可少，倘若两个衰落信号同步起伏，那么这种分集就不会有任何效果
分集的两重含义
1. 一是分散传输：是接收端能获得多个独立统计的，携带同一信息的衰落信号
2. 二是集中处理：即把多个统计独立的衰落信号进行合并，降低衰落的影响

合并方式

选择式合并：选择信噪比最高的信号作为输出信号
最大比值合并：划分权值，信噪比越高权值越大，然后 ∑ \sum ∑
等增益合并：划分权值，各个信号权值相等，然后 ∑ \sum ∑

信息量计算

信源的平均信息量： H ( x ) = − ∑ i = 1 n P ( x i ) l o g 2 P ( x i ) 条件信息量： H ( x ∣ y ) = − ∑ j = 1 m P ( y i ) ∑ i = 1 n P ( x i / y j ) l o g 2 P ( x i / y j ) 平均信息量： H ( x ) − H ( x ∣ y ) 信源的平均信息量： H(x) =-\sum^{n}_{i=1}P(x_i)log_2P(x_i)\\ 条件信息量：H(x|y) = -\sum^{m}_{j=1}P(y_i)\sum_{i=1}^{n}P(x_i/y_j)log_2{P(x_i/y_j)}\\ 平均信息量：H(x) - H(x|y) 信源的平均信息量：H(x)=−i=1∑nP(xi)log2P(xi)条件信息量：H(x∣y)=−j=1∑mP(yi)i=1∑nP(xi/yj)log2P(xi/yj)平均信息量：H(x)−H(x∣y)

香农公式

C = B l o g 2 ( 1 + S N ) S N = 10 l o g 10 信噪比 d b C = Blog_2(1+\frac{S}{N})\\ \frac{S}{N} = 10 log_{10}^{信噪比db} C=Blog2(1+NS)NS=10log10信噪比db

信号概述

AM信号

s A M ( t ) = [ A 0 + m ( t ) ] c o s w c ( t ) = A 0 c o s w c ( t ) + m ( t ) c o s w c ( t ) S A M ( w ) = π A 0 [ δ ( w + w c ) + δ ( w − w c ) + 1 2 [ M ( w + w c ) + M ( w − w c ) ] A M 信号的带宽： B A M = 2 B m = 2 f H s_{AM}(t) = [A_0+m(t)]cosw_c(t)=A_0cosw_c(t)+m(t)cosw_c(t)\\ S_{AM}(w) = \pi A_0[\delta(w+w_c)+\delta(w-w_c)+\frac{1}{2}[M(w+w_c)+M(w-w_c)]\\ AM信号的带宽：B_{AM} = 2B_{m} = 2f_{H} sAM(t)=[A0+m(t)]coswc(t)=A0coswc(t)+m(t)coswc(t)SAM(w)=πA0[δ(w+wc)+δ(w−wc)+21[M(w+wc)+M(w−wc)]AM信号的带宽：BAM=2Bm=2fH

AM信号的解调

s A M ( t ) × c o s w c t = [ A 0 + m ( t ) ] c o s 2 w c t = 1 2 [ A 0 + m ( t ) ] + 1 2 [ A 0 + m ( t ) ] c o s 2 w c t 然后使用一个低通滤波器 L P F 就可以无失真的恢复成原始的调制信号： m 0 ( t ) = 1 2 [ A 0 + m ( t ) ] s_{AM}(t)\times cosw_ct = [A_0+m(t)]cos^2w_ct=\frac{1}{2}[A_0+m(t)]+\frac{1}{2}[A_0+m(t)]cos2w_ct\\ 然后使用一个低通滤波器LPF就可以无失真的恢复成原始的调制信号：\\ m_0(t) = \frac{1}{2}[A_0 + m(t)] sAM(t)×coswct=[A0+m(t)]cos2wct=21[A0+m(t)]+21[A0+m(t)]cos2wct然后使用一个低通滤波器LPF就可以无失真的恢复成原始的调制信号：m0(t)=21[A0+m(t)]

抑制载波双边带调制DSB

s D S B ( t ) = m ( t ) c o s w c ( t ) S D S B ( w ) = 1 2 [ M ( w + w c ) + M ( w − w c ) ] D S B 信号的带宽： B D S B = B A M = 2 B m = 2 f H s_{DSB}(t) = m(t)cosw_c(t)\\ S_{DSB}(w) =\frac{1}{2}[M(w+w_c)+M(w-w_c)]\\ DSB信号的带宽：B_{DSB} = B_{AM} = 2B_{m} = 2f_{H} sDSB(t)=m(t)coswc(t)SDSB(w)=21[M(w+wc)+M(w−wc)]DSB信号的带宽：BDSB=BAM=2Bm=2fH

DSB信号的解调

D S B 不能使用包络检波，只能使用相干解调 S D S B ( t ) × c o s w c t = m ( t ) c o s 2 w c t = 1 2 m ( t ) + 1 2 m ( t ) c o s 2 w c t 经过低通滤波器滤除高次项，得到： m 0 ( t ) = 1 2 m ( t ) DSB不能使用包络检波，只能使用相干解调\\ S_{DSB}(t) \times cosw_ct = m(t)cos^2w_ct = \frac{1}{2}m(t) + \frac{1}{2}m(t)cos2w_ct\\ 经过低通滤波器滤除高次项，得到：m_0(t) = \frac{1}{2}m(t) DSB不能使用包络检波，只能使用相干解调SDSB(t)×coswct=m(t)cos2wct=21m(t)+21m(t)cos2wct经过低通滤波器滤除高次项，得到：m0(t)=21m(t)

单边带调制SSB

滤波法

原理：先形成DSB信号，边带滤波即可获得上或者下边带的信号

相移法

设 m ( t ) = A m c o s w m t 载波 c ( t ) = c o s w c t s D S B ( t ) = A m c o s w m t × c o s w c t = 1 2 A m c o s ( w c − w m ) t + 1 2 A m c o s ( w c + w m ) t s L S B U S B ( t ) = 1 2 A m c o s ( w c − + w m ) t = 1 2 A m c o s w m t c o s w c t + − 1 2 A m s i n w m t s i n w c t = 1 2 m ( t ) c o s w c t + − 1 2 m ( t ) ‾ s i n w c t S S B 信号的带宽 B S S B = B A M / 2 = f H 设m(t) = A_mcosw_mt\ \ \ \ \ \ \ \ 载波c(t) = cosw_ct\\ s_{DSB}(t) = A_mcosw_mt \times cosw_ct = \frac{1}{2}A_mcos(w_c - w_m)t + \frac{1}{2}A_mcos(w_c + w_m)t\\ s_\frac{LSB}{USB}(t) = \frac{1}{2}A_mcos(w_c \frac{-}{+} w_m)t = \frac{1}{2}A_mcosw_mtcosw_ct\frac{+}{-}\frac{1}{2}A_msinw_mtsinw_ct = \frac{1}{2}m(t)cosw_ct \frac{+}{-}\ \ \ \frac{1}{2} \overline{m(t)}sinw_ct\\ SSB信号的带宽B_{SSB} = B_{AM}/2 = f_{H} 设m(t)=Amcoswmt 载波c(t)=coswctsDSB(t)=Amcoswmt×coswct=21Amcos(wc−wm)t+21Amcos(wc+wm)tsUSBLSB(t)=21Amcos(wc+−wm)t=21Amcoswmtcoswct−+21Amsinwmtsinwct=21m(t)coswct−+ 21m(t)sinwctSSB信号的带宽BSSB=BAM/2=fH

残留边带调制VSB

是一种介于SSB和DSB之间的折中方案

S V S B ( w ) = S D S B ( w ) × H ( w ) = 1 2 [ M ( w + w c ) + M ( w − w c ) ] × H ( w ) S_{VSB}(w) = S_{DSB}(w)\times H(w) = \frac{1}{2}[M(w+w_c)+M(w-w_c)]\times H(w) SVSB(w)=SDSB(w)×H(w)=21[M(w+wc)+M(w−wc)]×H(w)

VSB信号的解调

相乘： s p ( t ) = s V S B ( t ) × 2 c o s w c t S p = S V S B ( w + w c ) + S V S B ( w − w c ) S V S B ( w ) = 1 2 [ M ( w + w c ) + M ( w − w c ) ] × H ( w ) 因此 S p ( w ) = 1 2 [ M ( w + 2 w c ) + M ( w ) ] H ( w + w c ) + 1 2 [ M ( w ) + M ( w − 2 w c ) ] H ( w − w c ) L P F 解调输出： S d ( w ) = 1 2 M ( w ) [ H ( w + w c ) + H ( w − w c ) ] 看出 V S B 仅仅比 S S B 所需的带宽有很小的增加，却换来了电路的简单 f H < B V S B < 2 f H 相乘：s_p(t) = s_{VSB}(t)\times 2cosw_ct\\ S_p = S_{VSB}(w+w_c)+S_{VSB}(w-w_c)\\ S_{VSB}(w) = \frac{1}{2}[M(w+w_c)+M(w-w_c)]\times H(w)\\ 因此S_p(w) = \frac{1}{2}[M(w+2w_c)+M(w)]H(w+w_c)+\frac{1}{2}[M(w) + M(w-2w_c)]H(w-w_c)\\ LPF解调输出：\\ S_d(w) = \frac{1}{2}M(w)[H(w+w_c)+H(w-w_c)]\\ 看出VSB仅仅比SSB所需的带宽有很小的增加，却换来了电路的简单\\ f_H \lt B_{VSB} \lt 2f_H 相乘：sp(t)=sVSB(t)×2coswctSp=SVSB(w+wc)+SVSB(w−wc)SVSB(w)=21[M(w+wc)+M(w−wc)]×H(w)因此Sp(w)=21[M(w+2wc)+M(w)]H(w+wc)+21[M(w)+M(w−2wc)]H(w−wc)LPF解调输出：Sd(w)=21M(w)[H(w+wc)+H(w−wc)]看出VSB仅仅比SSB所需的带宽有很小的增加，却换来了电路的简单fH<BVSB<2fH

从上述的AM、DSB、SSB和VSB信号的频谱结构可以看出，已调信号的频谱仅仅是调制信号频谱的线性搬移，属于线性调制

线性调制系统抗噪声性能

分析解调模型

性能指标

输出信噪比 : S o N o = m o 2 ( t ) ‾ n o 2 ( t ) ‾ 输入信噪比 : S i N i = m i 2 ( t ) ‾ n i 2 ( t ) ‾ 制度增益： G = S o / N o S i / N i \begin{align*} &输出信噪比 : \frac{S_o}{N_o} = \frac{\overline{m^2_o(t)}}{\overline{n_o^2(t)}}\\ &输入信噪比 : \frac{S_i}{N_i} = \frac{\overline{m^2_i(t)}}{\overline{n_i^2(t)}}\\ &制度增益：G = \frac{S_o/N_o}{S_i/N_i}\\ \end{align*} 输出信噪比:NoSo=no2(t)mo2(t)输入信噪比:NiSi=ni2(t)mi2(t)制度增益：G=Si/NiSo/No

DSB解调的抗造性能

SSB解调性能

AM信号的解调抗造性能

信噪比的大小评判：
[ A 0 + m ( t ) ] < < n c 2 ( t ) + n s 2 ( t ) 是小信噪比 [ A 0 + m ( t ) ] > > n c 2 ( t ) + n s 2 ( t ) 是大信噪比 [A_0 + m(t)] \lt\lt\sqrt{n_c^2(t) + n_s^2(t)}是小信噪比\\ [A_0 + m(t)] \gt\gt\sqrt{n_c^2(t) + n_s^2(t)}是大信噪比\\ [A0+m(t)]<<nc2(t)+ns2(t) 是小信噪比[A0+m(t)]>>nc2(t)+ns2(t) 是大信噪比
大信噪比时：G = 2 3 \frac{2}{3} 32

小信噪比时：门限效益

数字基带传输系统

单极性不归零信号

0 → 0 电平 1 → + A 电平 0 \to 0电平\\ 1 \to +A 电平 0→0电平1→+A电平

特点：含有直流分量和低频分量

应用：适合计算机内部或近距离的传输

单极性归零信号

0 → 0 电平 1 → + A 电平但是信号延续时间只是一半【即会信号归零】 0 \to 0电平\\ 1 \to +A 电平\\ 但是信号延续时间只是一半【即会信号归零】 0→0电平1→+A电平但是信号延续时间只是一半【即会信号归零】

归零的目的之一就是产生定时信息

不归零波形无定时分量

双极性不归零信号

0 → − A 1 → + A 0 \to -A\\ 1 \to +A 0→−A1→+A

特点：当0 和1 等概的时候，没有直流分量

双极性归零信号

0 → − A 1 → + A 0 \to -A\\ 1 \to +A 0→−A1→+A

接收端容易识别每个码的起止时刻

有利于收发双方保持正确的位同步

差分波形

特点：用相邻码元电平的跳变/不变表示信息码元

优点：可以消除设备初始状态不确定带来的影响

传号差分：
1 变， 0 不变相邻的两个码元跳变表示为比特 1 相邻的两个码元不跳变表示为比特 0 1变，0不变\\ 相邻的两个码元跳变表示为比特1\\ 相邻的两个码元不跳变表示为比特0\\ 1变，0不变相邻的两个码元跳变表示为比特1相邻的两个码元不跳变表示为比特0
空号差分：
0 变， 1 不变相邻的两个码元跳变表示为比特 0 相邻的两个码元不跳变表示为比特 1 0变，1不变\\ 相邻的两个码元跳变表示为比特0\\ 相邻的两个码元不跳变表示为比特1\\ 0变，1不变相邻的两个码元跳变表示为比特0相邻的两个码元不跳变表示为比特1

多电平波形

特点：一个脉冲可以携载多个比特信息

优点：传码率一定时，多电平的传信率高

传输信号带宽

B T = R S = 1 T S 矩形不归零脉冲（最简单） B T = 0.5 R S 理论最小值 ( 最乐观 ) \begin{align*} B_T &= R_S = \frac{1}{T_S}\ \ \ \ \ \ \ 矩形不归零脉冲（最简单）\\ B_T &= 0.5R_S\ \ \ \ \ \ \ 理论最小值(最乐观) \end{align*} BTBT=RS=TS1 矩形不归零脉冲（最简单）=0.5RS 理论最小值(最乐观)

	符号率	理论带宽	评注
2PAM	R b R_b Rb	B T = R b / 2 B_T = R_b /2 BT=Rb/2
MPAM	R b / K R_b/K Rb/K	B T = R b / K 2 B_T = \frac{R_b/K}{2} BT=2Rb/K	M高，节约带宽，但是抗噪性能弱，接收复杂

选码原则

选码原则表
线路编码获得的数字基带信号应该不含有直流分量
信号中应包含丰富的位定时信息，以便从接受码流中提取定时信号
不受信息源统计特性的影响，即能适应信息源的变化
具有内在的检错能力，即线路编码采用的码型具有一定的规律性，接收端可以通过这种规律性来监测码元在信道上传输是否出现了误码
减小误码增值
编译码简单
尽量提高码型的编码效率

常见的传输码型

A M I 、 H D B 3 码 AMI、HDB_3码 AMI、HDB3码
0 、 1 比特 → 0 , − A , + A 电平 − − − 1 B 1 T 码 0、1比特 \to 0,-A,+A电平 ---1B1T码 0、1比特→0,−A,+A电平−−−1B1T码
双相码、 C M I 码双相码、CMI码双相码、CMI码
0 、 1 比特 → 00 、 01 、 11 、 10 − − − 1 B 2 B 码 0、1比特\to 00、01、11、10 ---1B2B码 0、1比特→00、01、11、10−−−1B2B码

AMI码——传号级性交替码

码元 1 —— + 1 、 − 1 交替码元 0 —— 0 码元1——\ +1、-1交替\\ 码元0\ \ ——\ \ 0 码元1—— +1、−1交替码元0 —— 0

优点：

无直流成分，功率谱中低频和高配部分都不丰富
AMI无离散谱分量，所以没有定时分量，但是可以做非线性变换，使其变为单极性归零码，容易提取定时信号
编译码电路简单，提供了一定的检错能力

缺点：

当出现一大段0的时候，造成定时信息提取困难。不利于定时信息的提取

解决方法：扰码、HDB3码

HDB3码——三阶高密度双极性码

是AMI码的优化版，使连“0”的个数不超过三个

编码规则
连 0 的个数不超过 3 个时，遵循 A M I 编码规则连 0 个数超过三个时，将第四个 0 改为非零脉冲记为 V + 或 V − ，称为破坏脉冲相邻 V 码的级性必须交替出现（确保无直流） V 码的极性应与前一个非 0 脉冲的极性相同，否则将 0000 更改为 B + 00 V + 或 B − 00 V − 。 B 称为调节脉冲 V 码之后的传号极性也要交替 \begin{align*} &连0的个数不超过3个时，遵循AMI编码规则\\ &连0个数超过三个时，将第四个0改为非零脉冲记为V_+或V_-，称为破坏脉冲\\ &相邻V码的级性必须交替出现（确保无直流）\\ &V码的极性应与前一个非0脉冲的极性相同，否则将0000更改为B_+00V_+或B_-00V_-。B称为调节脉冲\\ &V码之后的传号极性也要交替 \end{align*} 连0的个数不超过3个时，遵循AMI编码规则连0个数超过三个时，将第四个0改为非零脉冲记为V+或V−，称为破坏脉冲相邻V码的级性必须交替出现（确保无直流）V码的极性应与前一个非0脉冲的极性相同，否则将0000更改为B+00V+或B−00V−。B称为调节脉冲V码之后的传号极性也要交替
特点：

除了保持了AMI码的特点之外，还将连0的个数限制在三个以内，有利于定时信号的提取

双相码——曼切斯特编码

编码规则：
码元 0 —— 01 码元 1 —— 10 码元0——01\\ 码元1——10 码元0——01码元1——10
特点：

二电平（极性相反）：无直流分量
位定时信息丰富
连码个数不超过两个

CMI——传号反转码

编码规则
1 —— 11 、 00 交替 0 —— 01 1——11、00交替\\ 0——01 1——11、00交替0——01
特点：

双极性二电平码，无直流分量；从下条沿直接提取位定时信息，连码个数不超过3个

奈奎斯特定律

在理想的基带信道下，无码间干扰最大的频带利用率是 2 B a u d / H z 2Baud/Hz 2Baud/Hz
C M A X = 2 W × l o g 2 M ( b / s ) C_{MAX} = 2W \times log_2M(b/s) CMAX=2W×log2M(b/s)
在理想的频带信道下，无码间干扰的最大频带利用率是1 B a u d / H z Baud/Hz Baud/Hz

抽样量化编码

低通信号抽样定理

定理：最高频率小于 f H f_H fH的模拟信号 m ( t ) m(t) m(t)可由其等间隔的抽样值唯一确定，抽样间隔 T s T_s Ts或抽样速率 f s f_s fs应满足：
f s ≥ 2 f H 最低 f s = 2 f H ——奈奎斯特速率 T s ≤ 1 2 f H 最高 T s = 1 2 f H ——奈奎斯特间隔 f_s \geq 2 f_H\ \ \ \ \ \ \ \ 最低f_s = 2f_H——奈奎斯特速率\\ T_s \leq\frac{1}{2f_H}\ \ \ \ \ \ \ 最高T_s = \frac{1}{2f_H}——奈奎斯特间隔 fs≥2fH 最低fs=2fH——奈奎斯特速率Ts≤2fH1 最高Ts=2fH1——奈奎斯特间隔
简单理解：就是一个信号周期中，至少抽样两次，即至少每半个周期抽样一次
混叠失真：当抽样频率小于信号频率的两倍的时候（即不满足奈奎斯特速率）。类似人眼看直升机的叶片不动

带通信号抽样定理

定律：设带通形模拟信号 m ( t ) m(t) m(t)的频率范围限制在 ( f L ≤ f < f H ) (f_L\leq f\lt f_H) (fL≤f<fH)内，且 f L > B f_L \gt B fL>B最小抽样速率为：

式中， B = f H − f L B = f_H -f_L B=fH−fL其中n为商 ( f H / B ) (f_H/B) (fH/B)的整数部分；k为商 ( f H / B ) (f_H/B) (fH/B)的小数部分
f s 与 f L 的关系 f_s与f_L的关系 fs与fL的关系
1. 当 f L = 0 f_L=0 fL=0时， f s = 2 B = 2 f H f_s = 2B = 2f_H fs=2B=2fH——低通抽样情况
2. f L 很大 f_L很大 fL很大高频窄带的信号情形 f s ≈ 2 B f_s\approx 2B fs≈2B

模拟信号的量化

量化：幅度上离散化
量化后的信号：多电平数字信号
量化原理：用有限个量化电平来表示无限个抽样值

均匀量化

等间隔的划分输入信号的取值域
- 缺点：当信号小的时候，信号量噪比S/Nq也小，往往达不到要求——相当于限制了输入信号的动态范围

非均匀量化

量化间隔不相等的量化方法
设计思想：信号样值小， Δ V \Delta V ΔV也小，信号良值大， Δ V \Delta V ΔV也大

A律13折线

**为什么要称为13折线呢？**因为有13段线，为什么是13段？因为第一段和第二段线的斜率一致

分类\折线段	1	2	3	4	5	6	7	8
x	0	1 128 \frac{1}{128} 1281	1 64 \frac{1}{64} 641	1 32 \frac{1}{32} 321	1 16 \frac{1}{16} 161	1 8 \frac{1}{8} 81	1 4 \frac{1}{4} 41	1 2 \frac{1}{2} 21	1
y(13折线)	0	1 8 \frac{1}{8} 81	2 8 \frac{2}{8} 82	3 8 \frac{3}{8} 83	4 8 \frac{4}{8} 84	5 8 \frac{5}{8} 85	6 8 \frac{6}{8} 86	7 8 \frac{7}{8} 87	1
y(A律曲线)	0	8 1 \frac{8}{1} 18	1.91 8 \frac{1.91}{8} 81.91					6.97 8 \frac{6.97}{8} 86.97	1
折线斜率	16	16	8	4	2	1	1/2	1/4

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