正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3306

题目大意

给出一个p,a,b,x1,tp,a,b,x_1,tp,a,b,x1,t，有xi=axi−1+bx_i=ax_{i-1}+bxi=axi−1+b
求一个最小的nnn使得xn=tx_n=txn=t

解题思路

下标缩一下先变成x0x_0x0会更好算一点，只考虑x0x_0x0的贡献就是x0×anx_0\times a^nx0×an，这个比较好搞。

bbb的贡献的话，对于第iii次加入的bbb贡献是an−ia^{n-i}an−i总共也就是b×∑i=0n−1aib\times \sum_{i=0}^{n-1}a^ib×∑i=0n−1ai
通项公式一下合起来就是
x0an+an−1a−1b=tx_0a^n+\frac{a^n-1}{a-1}b=tx0an+a−1an−1b=t
把ana^nan提到前面来就是
an=t(a−1)+bxa−x+ba^n=\frac{t(a-1)+b}{xa-x+b}an=xa−x+bt(a−1)+b
后面那个是已知的，然后就是上BSGS\text{BSGS}BSGS就好了。

需要注意的是如果a=1a=1a=1就不能用通项公式了，得上exgcd\text{exgcd}exgcd来搞。

要特判的东西有点多就不多讲了

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll T,p,a,b,x,t,ans;
map<ll,ll> v;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,x,y);ll z=x;x=y;y=z-a/b*y;return d;
}
void works(ll a,ll b,ll p){ll x,y;ll d=exgcd(a,p,x,y);if(b%d){printf("-1\n");return;}x*=b/d;y*=b/d;printf("%lld\n",(x%(d*p)+d*p)%(d*p)+1);
}
ll work(ll a,ll b,ll p){if(!a&&!b)return 1;if(!a)return -2;ll t=sqrt(p)+1;v.clear();for(ll i=0,z=1;i<t;i++,z=z*a%p)v[z*b%p]=i;a=power(a,t);if(b==1||!a)return 1;else if(!a)return -2;ll ans=1e18;for(ll i=0,tmp=1;i<=t;i++,tmp=tmp*a%p){ll j=(v.find(tmp)!=v.end())?v[tmp]:-1;if(j>=0&&i*t-j>=0)ans=min(ans,i*t-j);}if(ans==1e18)return -2;return ans;
}
signed main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x,&t);if(!a&&!t&&b){puts("-1");continue;}if(x==t){puts("1");continue;}if(a==1){works(b,(t-x+p)%p,p);continue;}t=(t*(a-1)+b)%p;x=(x*a-x+b+p)%p;t=t*power(x,p-2)%p;t=(t+p)%p;printf("%lld\n",work(a,t,p)+1);}return 0;
}

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