嵌套矩形——DAG上的动态规划

有向无环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

题目描述：

有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a,b描述，表示它的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内，但不能嵌套在(3,4)内。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行。使得除了最后一个之外，每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

分析：

矩形之间的"可嵌套"关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩形X可以嵌套在矩形Y里，我们就从X到Y连一条有向边。这个有向图是无环的，因为一个矩形无法直接或间接地嵌套在自己的内部。换句话说，它是一个DAG。这样，我们的任务便是求DAG上的最长路径。

方法一：

#include "stdio.h"
#include "string.h"
#define maxn 1000+10 typedef struct {      //矩形的数据结构，长、宽 int length;    int width;
}rectangle;int G[maxn][maxn];       //DAG图的矩阵表示
int d[maxn],n;          //d[i]顶点i的最长路径
rectangle rec[maxn];//打印出图的邻接矩阵，目的是确保建图正确无误
void print_Graph()
{printf("|矩 形|");for(int i=0;i<n;i++) printf("%2d,%2d|",rec[i].length,rec[i].width);printf("\n");for(int i=0;i<n;i++){for(int k=0;k<=n;k++)printf("------");printf("\n");printf("|%2d,%2d|",rec[i].length,rec[i].width);for(int j=0;j<n;j++){printf("  %d  |",G[i][j]);}printf("\n");}
}//构造图
void createGraph()
{memset(G,0,sizeof(G));for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(rec[i].length>rec[j].length && rec[i].width>rec[j].width){                G[i][j]=1;     //rec[i] 包含 rec[j]}}}// print_Graph();
}//记忆化搜索程序
int dp(int i)
{int& ans=d[i];    //为该表项声明一个引用，简化对它的读写操作。 if(ans>0) return ans;ans=1;for(int j=0;j<n;j++){if(G[i][j]){int tmp=dp(j);ans=ans>tmp+1?ans:tmp+1; }}return ans;
}int main()
{int N;scanf("%d",&N);while(N-->0){int ans=0;scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++){int tmp1,tmp2;scanf("%d%d",&tmp1,&tmp2);rec[i].length=tmp1>tmp2?tmp1:tmp2;rec[i].width=tmp1<tmp2?tmp1:tmp2; }createGraph();//初始化记忆数组 memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=0;i<n;i++){int tmp=dp(i);ans=ans>tmp?ans:tmp;    }printf("%d\n",ans);} return 0;
}

题目来源NYOJ： http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=16

方法二：可以点我！

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